Gegeben ist die Funktionenschar bei Aufgabe 8. O_(v)(r) = πr^2 + (2V)/r Oberfläche von offenem Zylinder

Question

Ich komme bei aufgabe 8 nicht voran bitte um hilfe:)

Answer 1

O ( r ) = r^2 + 2 * V / r
O ´( r ) = 2r - 2V / r^2
O ´´( r ) = 2 + 4V / r^3

2r - 2V / r^2 = 0
r = ³√ V
Min oder max ?
O ´´( ³√ V ) = 2 + 4V / (³ √ V ) ^3 = 6
Die Krümmung ist positiv = Tiefpunkt

O ( ³ √ V ) = 3 *  ³√ V ^2

Comments

Korrektur :
da habe ich ein π vergessen

O ( r ) = π * r² + 2 * V / r
O ´( r ) = π2r - 2V / r²
O ´´( r ) = π2 + 4V / r³

π2r - 2V / r² = 0
πr = V / r²
r^3 =
r = ³√ ( V  / π )
Min oder max ?
O ´´( ³√ V ) = 2π + 4V / (³ √ V ) ³ = 6  * π
Die Krümmung ist positiv = Tiefpunkt

O ( ³√ ( V / π ) ) = 3 *  ³√ π * V ^{2/3}

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O ´( r ) = π2r - 2V / r²

^{Kommt da nicht} O ´( r ) = 2πr - 2V / r²  

^Hin?

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Hallo menoo,
wo siehst du den  Unterschied?

Answer 2

Hallo Meroo,

a) Für die Berechnung der Minimalstelle, leite die Funktion \(O_V(r)\) nach \(r\) ab und setze sie zu 0.

$$\begin{aligned}O'_V(r) &= 2\pi r - \frac{2V}{r^2} \\ O'_V(r_m) &= 0 \quad \Rightarrow r_m = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\end{aligned}$$

Die zweite Ableitung

$$O''_V(r) = \pi + \frac{4V}{r^3}$$

ist für positive \(r\) immer positiv, d.h. die oben gefundene Extremstelle für \(r_m\) ist ein Minimum.

 ~plot~ pi*x^2 + 8/x;pi*x^2 +2/x;pi*x^2 +1/x;{1.084|11.072};{0.6828|4.394};{0.542|2.768};[[-1|3|-1|15]] ~plot~

obiger Plot zeigt Dir drei Funktionen mit den Werten \(0,5\), \(1\) und \(4\) für \(V\).

b) Die Höhe kann man z.B. über die Mantelfläche \(M\) oder über das Volumen \(V\) berechnen. Es ist

$$V = \pi r^2 h \quad \Rightarrow h = \frac{V}{\pi r^2}$$

Die Höhe \(h_m\) des 'minimalen' Zylinders mit Radius \(r_m\) und vorgegebenen Volumen \(V\) ist demnach

$$h_m= \frac{V}{\pi r_m^2} = \frac{V}{\pi \left( \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\right) ^2} = \frac{V}{\pi \left( \frac{V}{\pi}\right)^{\frac23}} = \left( \frac{V}{\pi}\right)^{\frac13} = r_m$$

D.h. in diesem Fall sind Höhe und Radius des Zylinders gleich groß.

Comments

Wie kommst du auf =(V/pi)^1/3 am Ende ?

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Du fragtest: "Wie kommst du auf =(V/pi)¹/3 am Ende ?"

$$\frac{V}{\pi \left( \frac{V}{\pi}\right)^{\frac23} } = \frac{V}{\pi^1 \cdot V^{\frac23} \cdot \pi^{\frac{-2}{3}}}=\frac{V}{\pi^{\frac13} \cdot V^{\frac23}}=\frac{V^{\frac13}}{\pi^{\frac13}}=\left( \frac{V}{\pi} \right)^{\frac13}$$