Hallo Meroo,
a) Für die Berechnung der Minimalstelle, leite die Funktion \(O_V(r)\) nach \(r\) ab und setze sie zu 0.
$$\begin{aligned}O'_V(r) &= 2\pi r - \frac{2V}{r^2} \\ O'_V(r_m) &= 0 \quad \Rightarrow r_m = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\end{aligned}$$
Die zweite Ableitung
$$O''_V(r) = \pi + \frac{4V}{r^3}$$
ist für positive \(r\) immer positiv, d.h. die oben gefundene Extremstelle für \(r_m\) ist ein Minimum.
~plot~ pi*x^2 + 8/x;pi*x^2 +2/x;pi*x^2 +1/x;{1.084|11.072};{0.6828|4.394};{0.542|2.768};[[-1|3|-1|15]] ~plot~
obiger Plot zeigt Dir drei Funktionen mit den Werten \(0,5\), \(1\) und \(4\) für \(V\).
b) Die Höhe kann man z.B. über die Mantelfläche \(M\) oder über das Volumen \(V\) berechnen. Es ist
$$V = \pi r^2 h \quad \Rightarrow h = \frac{V}{\pi r^2}$$
Die Höhe \(h_m\) des 'minimalen' Zylinders mit Radius \(r_m\) und vorgegebenen Volumen \(V\) ist demnach
$$h_m= \frac{V}{\pi r_m^2} = \frac{V}{\pi \left( \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\right) ^2} = \frac{V}{\pi \left( \frac{V}{\pi}\right)^{\frac23}} = \left( \frac{V}{\pi}\right)^{\frac13} = r_m$$
D.h. in diesem Fall sind Höhe und Radius des Zylinders gleich groß.
