Shift right Funktion Frage zum Kern

Question

Hallo:)

wir haben einen Vektorraum V, aller Funktionen f: ℕ→ℝ und die Funktion S: V→V definiert durch (S(f))(k) := (0, falls K=1; und f(k-1) falls K≥2). Hierfür müssen wir zeigen, ob S surjektiv/Injektiv ist und den Kern bestimmen.

Aus vorangegangen Rechnungen erhalten wir, dass S Injektiv, aber nicht surjektiv. Allerdings steht das im Widerspruch zum Kern, denn dieser müsste doch f(1) mit (S(f))(1)=0. Oder liegt da ein Denkfehler vor?

vielen Dank!

Gruß

Answer 1

Wenn du den Kern bestimmen willst, brauchst du doch alle Funktionen

f, also alle Folgen, deren Bild  die konstante Folge mit Wert 0 ist.

Die Bildfolgen fangen zwar alle an mit der 0 (Das heißt ja S(f)(1)=0

aber jetzt geht es ja darum, dass alle weiteren Folgenglieder der

Bildfolge auch 0 sind, also  S(f)(2)=0  und  S(f)(3)=0 etc.

Da aber  S(f)(2)=f(1) ist, und das soll 0 sein, muss also

schon mal f(1) = 0 sein.  Nun ist aber S(f)(3)=f(2)

und damit das eine 0 ist, muss auch f(2)=0 sein.

Entsprechend ergibt sich für alle n∈ℕ   f(n)=0 .

Somit besteht der Kern nur aus der konstanten Folge mit Wert 0 .

Das passt zur Injektivität.