identische Abbildungen usw

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 8 (6 Punkte) Für den Untervektorraum \( V:=\left\{M \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \mid M=M^{\top}\right\} \) von \( \mathbb{R}^{2 \times 2} \) sind durch
\( \begin{array}{l} B: B_{1}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right), \quad B_{2}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right), \quad B_{3}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \text { und } \\ C: C_{1}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right), \quad C_{2}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right), \quad C_{3}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \end{array} \)
zwei Basen gegeben. Weiter sei die lineare Abbildung \( \alpha: V \rightarrow V: X \mapsto A^{\top} X+X A \) für \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right) \) gegeben.
(a) Stellen Sie \( C_{2} \) und \( \alpha\left(B_{2}\right) \) als Linearkombination der Basisvektoren aus \( B \) dar.
\( \begin{array}{c} C_{2}=\square \cdot B_{1}+\square \cdot B_{2}+\square \cdot B_{3} \\ \alpha\left(B_{2}\right)=\square \cdot B_{1}+\square \cdot B_{2}+\square \cdot B_{3} \end{array} \)
(b) Bestimmen Sie die Matrizen \( { }_{B} \mathrm{id}_{C},{ }_{B} \alpha_{B} \) und \( { }_{B} \alpha_{C} \).
\( { }_{B} \mathrm{id}_{C}=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \quad{ }_{B} \alpha_{B}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{array}\right) \quad{ }_{B} \alpha_{C}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 10 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Hallo Zusammen, ich weiß nicht wie ich auf die b) kommen soll. Ich finde auch nicht eine Quelle die mir das erklärt. Ich glaube, dass wenn ich einmal den Weg zu der Lösung sehe, dass ich es verstehen werde, brauche dabei Hilfe.

Answer 1

Die Matrizen in b) sind Darstellungsmatrizen der

Abbildungen id bzw. α mit Bezug auf die gegebenen

Basen. Z.B. ist es bei \( { }_{B} \mathrm{id}_{C} \) so, dass

in der k-ten Spalte der Matrix die Koeffizienten stehen, die

man braucht um das Bild des k-ten Basisvektors von C mit der

Basis B darzustellen. Hier wäre also z.B. für die 2. Spalte

zu betrachten: Der 2. Basisvektor von C, das ist C₂ und dann id(C₂)

zu bestimmen, das ist ja C₂ selbst. Und das jetzt mit Hilfe der

Basis B darstellen. Das Ergebnis ist der 1. Teil von a). Die benötigten

Faktoren sind oben richtig berechnet: 1 , 2, 0. Und das sind genau

die Zahlen in der 2. Spalte der Matrix   \( { }_{B} \mathrm{id}_{C} \) .

Mit dem 2. Teil von a) hast du die 2. Spalte von \( { }_{B} \mathrm{\alpha}_{B} \) bestimmt.

etc.