Die angegebene Parametrisierung ist nicht konsistent mit dem Bild. Eigentlich müsste man eine Variable haben, die von 0 bis \(r\) läuft. Da die Kreisscheiben den Radius \(r\) haben, benötigt man auch kein \(r_{max}\).
Weiterhin ist es seltsam, dass \(t\) im Bild später in der Formel \(\phi\) ist, und \(p\) ist in der Formel \(\theta\). Man hätte das wohl andersherum erwartet.
Hier nochmal kurz die Herleitung der Parametrisierung mit den Variablen im Bild:
Mittelpunkte der Kreisscheiben:
\(R\cdot e_R\) mit \(e_R = \begin{pmatrix} \cos t\\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(t\in [0,2\pi ]\)
Kreisscheibe mit Radius \(r\) in der Ebene aufgespannt aus \(e_R\) und \(e_z =\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\) um (0,0,0):
\(\rho\left( \cos p \cdot e_R + \sin p \cdot e_z\right) = \rho\begin{pmatrix} \cos p \cos t\\ \cos p \sin t \\ \sin p \end{pmatrix}\) mit \(\rho \in [0,r],\; p \in[0,2\pi ]\)
Anheften der Kreisscheibe an \(R\cdot e_R\) :
\(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = R\cdot e_R + \rho\begin{pmatrix} \cos p \cos t\\ \cos p \sin t \\ \sin p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos t (R+\rho \cos p)\\\sin t (R+\rho \cos p) \\ \rho\sin p\end{pmatrix}\)
Funktionaldeterminante siehe hier: \( \rho R + \rho^2\cos p \)
Hier nochmal die passende Wikipedia-Seite.
