Zeigen Sie, dass der Torus das Volumen V = 2π²r²R hat.

Question

Aufgabe:

Ein Torus entsteht durch Rotation eines Kreises mit dem Radius r in einem Abstand R um die x-Achse. Die obere und untere Begrenzungslinie dieses Kreises werden beschrieben durch die Funktionen fo(x)= R + √(r²-x²) und fu(x) = R - √(r²-x²). Zeigen Sie, dass der Torus das Volumen V = 2π²r²R hat.

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen? Ich weiß, dass ich den Flächeninhalt eines halben Kreises mit dem Integral von -r bis r, über √(r²-x²) dx berechnen kann. Irgendwie komm ich jetzt aber nicht weiter wie ich auf die Formel fürs Volumen kommen soll.

Answer 1

Rotationsvolumen um die x-Achse

\( \pi \cdot( \int\limits_{-r}^r (R + \sqrt{r^2-x^2} )^2 dx - \int\limits_{-r}^r (R - \sqrt{r^2-x^2} )^2 dx )\)

\( = \pi \cdot\int\limits_{-r}^r ((R + \sqrt{r^2-x^2} )^2  - (R - \sqrt{r^2-x^2} )^2 )dx \)

\(=  \pi \cdot \int\limits_{-r}^r 4R\sqrt{r^2-x^2}dx \)

= \(  \pi \cdot [2R(arcsin(\frac{x}{r})\cdot r^2 +x\sqrt{r^2-x^2}) ]_{-r}^r =2R\pi^2 r^2\)

Comments

Wikipedia:
Die Formel für das Volumen lässt sich so interpretieren, dass die Kreisfläche A r = π r 2 {\displaystyle A_{r}=\pi r^{2}} mit dem Umfang U R = 2 π R {\displaystyle U_{R}=2\pi R} multipliziert wird (siehe Zweite Guldinsche Regel). Dies kann man zum Verständnis in Analogie zum Zylindervolumen V zyl = π r 2 l {\displaystyle V_{\text{zyl}}=\pi r^{2}l} setzen. Mit dem Flächeninhalt der Oberfläche verhält es sich genauso, hier werden die Umfänge U r = 2 π r {\displaystyle U_{r}=2\pi r} und U R = 2 π R {\displaystyle U_{R}=2\pi R} miteinander multipliziert (siehe Erste Guldinsche Regel). Dies steht ebenfalls in Analogie zur Zylinderoberfläche O zyl = 2 π r l {\displaystyle O_{\text{zyl}}=2\pi rl}.

ohne Integrale

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Dafür aber mit irgendeiner "Guldinschen Regel" von der ich z.B. noch nie etwas gehört habe. Da sind mir Integrale lieber, da sie mathematisches Allgemeinwissen sind.

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Zumal die Aufgabe auch darauf ausgelegt ist, das mit Hilfe der Integralrechnung nachzuweisen.