Vektoren, Parameterdarstellung, parallel

Question

Aufgabe:

Aufgabe 3
Gegeben sind die Punkte \( A=(1,1) \) und \( B=(4,5) \).
(a) Definieren Sie, was ein Einheitsvektor ist. Geben Sie den zu \( \overrightarrow{A B} \) gehörenden Einheitsvektor an, der dieselbe Richtung wie \( \overrightarrow{A B} \) hat.
(b) Verlängern Sie die Strecke \( \overline{A B} \) um 3 Längeneinheiten über \( B \) hinaus.
i) Welche Koordinaten hat der Endpunkt \( C \) der neuen Strecke?
ii) Fertigen Sie eine Skizze an.
iii) Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Vektoren \( \overrightarrow{A B} \) und \( \overrightarrow{C B} \) parallel sind.
(c) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Geraden an, die durch die Punkte \( A \) und \( B \) verläuft.
Untersuchen Sie, ob der Punkt \( D=(-1,-3) \) auf der Geraden liegt.
Handelt es sich bei der Geraden um einen Teilraum des \( \mathbb{R}^{2} \) ? Begründen Sie! Falls nicht, geben Sie eine Parameterdarstellung der dazu parallelen Geraden an, die einen Teilraum bildet.

Problem/Ansatz:

Beim Unterpunkt a) hab ich den Abstand berechnet, aber weiter weiß ich nicht.
Beim Unterpunkt b) die Koordinaten von C (13,17), bin mir da auch nd ganz sicher…
Und Unterpunkt c hab ich nicht verstanden, ob es sich um einen Teilraum handelt..

Answer 1

a) \( \overrightarrow{A B} = \begin{pmatrix} 4\\5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}\)

Der hat die Länge 5, ein Einheitsvektor muss aber Länge 1 haben,

also mit 0,2 malnehmen gibt für den ges. Einheitsvektor  \( \begin{pmatrix} 0,6\\0,8 \end{pmatrix}\)

b) (i) Ortsvektor von C ist \( \vec{c}=\begin{pmatrix} 4\\5 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0,6\\0,8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5,6\\7,4 \end{pmatrix}\)

Also \( C=(5,6  ;  7,4) \).

(iii) \( \overrightarrow{C B} = \begin{pmatrix} 1,8\\2,4 \end{pmatrix}= \frac{5}{3}\cdot \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}\) Also parallel zu \( \overrightarrow{A B} \)

c) z.B.   \( \vec{x}=\begin{pmatrix} 4\\5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0,6\\0,8 \end{pmatrix}\)  Kein Teilraum, da z.B. die Summe zweier Elemente der Geraden im allg. nicht wieder auf der Geraden liegt.

Wenn du allerdings (4/5) durch (0/0) ersetzt, dann ist es einer.

Comments

Warum 0,2 und wie kommt man drauf? Und wenn ich mit 0,2 multipliziere ist die Länge noch immer nicht 1

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Ah ich hab‘s schon verstanden :)

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\(  0,2=\frac{1}{5}  \). Wenn du einen Vektor der Länge 5

mit 1/5 multiplizierst hat das Ergebnis die Länge 1.

In der Tat \(   \sqrt{0,6^2 +0,8^2}=    \sqrt{0,36 +0,64} =   \sqrt{1} = 1 \)

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Danke, Sie haben es sehr verständlich erklärt :)

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Warum haben Sie beim Unterpunkt b) den Einheitsvektor (0,6 0,8) und nicht (3 4) genommen?

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weil das egal ist, auf die Länge des Richtungsvektors kommt

es nicht an. Länge 1 hat doch was.