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Für \( p \in P_{2} \), den Polynomfunktionen vom Grad \( \leq 2 \), betrachten wir die lineare Abbildung \( F: P_{2} \rightarrow P_{2} \) (ohne Beweis) mit
\( [F(p)](x)=3 x p^{\prime \prime}(x)+(x+1) p^{\prime}(x)-3 p(x), \)
wobei \( p^{\prime} \) und \( p^{\prime \prime} \) die erste bzw. zweite Ableitung von \( p \) sind. \( \mathcal{B}=\left(p_{0}, p_{1}, p_{2}\right) \) bezeichnet wie üblich die Monomiale Basis von \( P_{2} \) mit \( p_{k}(x)=x^{k} \).
(a) Bestimmen Sie die Koordinatendarstellung von \( F \) bezüglich der Monomialen Basis B.
(b) Bestimmen sie eine Basis \( \mathcal{C}=\left(c_{0}, c_{1}, c_{2}\right) \) von \( P_{2} \), so dass \( { }_{C} F^{\mathcal{B}} \) die Einheitsmatrix ist. Benutzen Sie die Basis-Eigenschaft von \( \mathcal{B} \) um zu zeigen, dass auch \( \mathcal{C} \) eine Basis ist.
Aufgabe:
