Koordinatentransformation, Inverse, Determinante

Question

Aufgabe 2:

Gegeben sei die Koordinatentransformation
\( \begin{array}{c} \boldsymbol{\Phi}(r, \varphi)=\left(\begin{array}{c} x(r, \varphi) \\ y(r, \varphi) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 r \cos \varphi \\ 3 r \sin \varphi \end{array}\right) \\ \operatorname{mit}(r, \varphi) \in Q:=] 0,1] \times]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[. \end{array} \)
a) Man berechne \( \boldsymbol{J} \boldsymbol{\Phi}(r, \varphi) \) und \( \operatorname{det}(\boldsymbol{J} \boldsymbol{\Phi}(r, \varphi)) \) sowie
b) \( \boldsymbol{\Phi}^{-1}(x, y), \boldsymbol{J} \boldsymbol{\Phi}^{-1}(x, y) \) und \( \operatorname{det}\left(\boldsymbol{J} \boldsymbol{\Phi}^{-1}(x, y)\right) \).
c) Man zeichne \( Q \) und \( \boldsymbol{\Phi}(Q) \).

Problem:

Leider weiß ich bei der Aufgabe gar nicht weiter

Answer 1

\( \boldsymbol{J} \boldsymbol{\Phi}(r, \varphi) \) wird wohl die Jacobimatrix sein.

Also die partiellen Ableitungen der Komponenten nach r und nach φ bilden

Bei \( \left( \begin{array}{c} 2 r \cos \varphi \\ 3 r \sin \varphi \end{array} \right)\) gibt das

\( \boldsymbol{J} \boldsymbol{\Phi}(r, \varphi) =  \left( \begin{array}{c} 2  \cos \varphi & -2r\sin \varphi \\ 3  \sin \varphi & 3r\cos \varphi\end{array} \right)\)

Und davon die Determinante ist \(   6r \cos^2 \varphi  + 6r\sin^2  \varphi  = 6r \)

Comments

Vielen Dank, wie löst man b) und c)?

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\(  x= 2 r \cos \varphi \)  gibt  \( \cos \varphi =\frac{x}{2r}   \) und

\(  y= 3 r \sin \varphi \)  gibt \( \sin \varphi =\frac{y}{3r}  \)

==>  \(   \sin^2 \varphi + \sin^2 \varphi =\frac{y^2}{9r^2}+\frac{x^2}{4r^2}\)

==>     \(  1=\frac{y^2}{9r^2}+\frac{x^2}{4r^2}\)

==>    \(  r^2=\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{4}\)

Damit bekommst du r und oben einsetzen gibt φ.