Aufgabe:
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Betrachte die folgende Koordinatentransformation in \( \mathbb{R}^{2} \) mit \( a \in \mathbb{R} \) und \( b \in[0, \infty) \)
\( x=a b \quad y=\frac{1}{2}\left(b^{2}-a^{2}\right) \)
a) Skizziere die Koordinatenlinien.
b) Berechne die Jacobimatrix der Transformation.
c) Berechne die Basisvektoren \( \boldsymbol{a} \) und \( \boldsymbol{b} \).
…
Problem/Ansatz:
Hallo alle zusammen, bezüglich dieser Aufgabe stellt sich mir das Problem, dass ich nicht genau verstehe ob ich in die richtige Richtung arbeite. In meinem Verständnis müssen wir für Aufgabe a) die Einheitsvektoren ex und ey finden um überhaupt die Richtung der Koordinatenachsen zu haben. Ich versuche dies über die Umformung von den Gleichungen in a(x,y) und b(x,y) zu erreichen, aber bekomme merkwürdige Resultate heraus, die mir auch absolut nicht bei der Lösung der Aufgabe helfen. Die Jacobi Matrix ist ja per Definition die Matrix aller ersten partiellen Ableitungen und man könnte sie über die Inverse Funktion a(x,y) durchaus aufstellen, danach mit J(f^-1)=J(f)^-1 weiterarbeiten meines Wissens nach. Da ich aber leider keine Orientierung habe ob meine Ansätze überhaupt richtig sind, weiß ich nicht mehr weiter...
Wäre sehr dankbar falls sich einer das anschaut und mir einen Ansatz mitgibt wie ich dies lösen könnte.
