Bestimmen Sie die Koordinatentransformation F^{K}E

Question

Aufgabe:

Sei \( \mathbb{E} \) das Standardkoordinatensystem und \( \mathbb{F} \) ein affines Koordinatensystem für \( \mathbb{R}^2 \). Gegeben sind

$$\mathbb { E } P = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 11 } \end{array} \right) _ { \mathrm { E } } Q = \left( \begin{array} { l } { \frac { 9 } { 5 } } \\ { 6 } \end{array} \right) \mathbb { E }  { R } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 6 } \end{array} \right) _ { F } P = \left( \begin{array} { c } { - 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) _ { F } Q = \left( \begin{array} { l } { \frac { 4 } { 5 } } \\ { 4 } \end{array} \right) \mathbb { F } R = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right)$$

Bestimmen Sie die Koordinatentransformation \( \mathbb{F}^{\kappa} \mathbb{E} \)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Koordinatentransformation bestimmen.

Stichworte: transformation,matrix

Sei E das Standardkoordinatensystem und F ein affines Koordinatensystem für R². Gegeben sind

_E P = \( \begin{pmatrix} +0 \\ +11 \end{pmatrix} \), _E Q =  \( \begin{pmatrix} +(9/5)\\ +6 \end{pmatrix} \), _E R = \( \begin{pmatrix} +1 \\ +6 \end{pmatrix} \),

_F P = \( \begin{pmatrix} -1 \\ +0 \end{pmatrix} \), _F Q = \( \begin{pmatrix} +(4/5) \\ 4 \end{pmatrix} \), _F R= \( \begin{pmatrix} +0 \\ +0 \end{pmatrix} \).

Bestimmen Sie die Koordinatentransfomation _FK_E.

_FK_E(v) = \( \begin{pmatrix} ?? / ?? \\ ?? / ?? \end{pmatrix} \) v + \( \begin{pmatrix} ? \\ ? \end{pmatrix} \),

Answer 1

Hallo leki,

Wenn Du das ganze in homogene Koordinaten schreibst, so ist $${_Fx} = {_FK_E} \cdot {_Ex} \quad x \in \{P,\, Q,\, R\}$$Alle drei Vektoren als Matrix geschrieben sieht so aus$$\begin{aligned} {_F}[P,Q,R] &= {_FK_E} \cdot {_E}[P,Q,R] \\ \implies {_FK_E} &= {_F}[P,Q,R]  \cdot {_E}[P,Q,R]^{-1}\end{aligned}$$ Das ganze mit Zahlen füllen und ausrechnen:$$ \begin{aligned} {_FK_E}  &= \begin{pmatrix} -1&0,8&0 \\ 0&4&0 \\ 1&1&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0&1,8&1 \\ 11&6&6 \\ 1&1&1\end{pmatrix}^{-1} \\ &= \begin{pmatrix} 1&0&-1 \\ 5&1&-11 \\ 0&0&1\end{pmatrix} \end{aligned}$$Eine andere Schreibweise wäre:$${_FK_E}: \space \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2: \space v \to \begin{pmatrix} 1&0 \\ 5&1 \end{pmatrix} v  + \begin{pmatrix} -1 \\ -11\end{pmatrix} $$Mache die Probe. Setze die Punkte \({_Ex}\) ein und dann muss jeweils der Punkt \({_Fx}\) heraus kommen.

Wenn Du Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner