Aufgabe: Berechne die erste Ableitung der Funktionen a.) und b.) mit Hilfe der Definition: f'(x)=\( \lim\limits_{Δx\to\ 0} \)\( \frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx} \)
a.) f(x) = (x+a)^2
b.) f(x) = x^3
Problem: Was ist Δx und wie setzt man in die Gleichung richtig ein?
Was ist Δx und wie setzt man in die Gleichung richtig ein?
siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Einführung
oder auch https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Berechnung_einer_Ableitungsfunktion
Δx ist ein Wert mit kleinem Betrag , der zum Ende der Überlegung
gegen 0 geht. . Wenn du also betrachten sollst
( f(x+Δx) - f(x) ) / Δx
und hast f(x) = (x+a)^2 dann ist das
( (x+ Δx+a)^2 - (x+a)^2 ) / Δx
= ( (x+a+ Δx)^2 - (x+a)^2 ) / Δx
= ( (x+a)^2 +2(x+a)Δx+ (Δx)^2 - (x+a)^2 ) / Δx
= ( 2(x+a)Δx+ (Δx)^2 ) / Δx Jetzt Δx kürzen !
= ( 2(x+a)+ (Δx)) / 1
= 2(x+a)+ Δx
Und für Δx gegen 0 ist der Grenzwert 2(x+a) = f ' (x) .
Zu b) Ich schreibe h=Δx:
f(x+h)= (x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h3
f(x+h)-f(x)=3x2h+3xh2+h3=h·(3x2+3xh+h2)
(f(x+h)-f(x))/h=3x2+3xh+h2
und für h=0 ist das 3x2.
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