Fehlerabschätzung der numerischen Differentation

Question

Es handelt sich um die numerische Differentation, bei der der einseitige Differenzenquotient wie folg bestimmt wird (h>0):

δ(h) := ( f(x₀ + h) - f(x₀ ) ) / h.

Nachzuweisen ist nun, dass die folgende Fehlerabschätzung gilt:

|f ' (x₀ ) - δ(h)| ≤ 0,5*h* max |f '' (ξ)|, wobei für das Maximum gilt: x₀ ≤ξ≤x₀ +h.

Mit Hilfe des Hinweises, bei dem auf das Taylor-Polynom verwiesen wird, habe ich nun bereits die Abschätzung so weit umgeformt:

|f ' (x₀ ) - ( f(x0 + h) - f(x0 ) ) / h| = |f ' (x₀ ) -\( \frac{f '(x₀ ) (x-x₀ ) + 0,5*f '' (ξ) * (x-x₀ )²}{h} \) |

Leider weiß ich nun nicht, wie ich diesen Term weiter umformen kann, um die finale Abschätzung oben nachzuweisen.

Über jede Hilfe bin ich sehr dankbar.

Vielen Dank schon einmal im Voraus!

Comments

Text erkannt:

\( \delta(n)=\frac{f\left(x_{0}+n\right)-f\left(x_{0}\right)}{n}, n>0 \)
Nanerungswert für \( f^{\prime}\left(x_{0}\right) \)
\( \text { a) } \begin{aligned} &\left|f^{\prime}\left(x_{0}\right)-\delta(h)\right| \leqslant \frac{h}{2} \operatorname{mox}_{b \in 3=x_{0}+h}\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \\ =&\left|f^{\prime}\left(x_{0}\right)-\left(\frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}\right)\right| \\ & \Gamma f\left(x_{0}+h\right)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}(3)}{2}\left(x-x_{0}\right)^{2} \\ =&\left|f^{\prime}\left(x_{0}\right)-\right|\left(f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}(8)\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2}-f\left(x_{0}\right)\right.\\ =&\left|f^{\prime}\left(x_{0}\right)-\left(f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{\left.f^{\prime \prime}(-)\right)\left(x-x_{0}\right)^{2}}{h^{2}}\right)\right| \end{aligned} \)
c.

Answer 1

Mit der Taylorapproximation und dem Lagrange Restterm ergibt sich
\( f\left(x_{0}+h\right)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right) h+\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2} h^{2}, \quad \xi \in\left(x_{0}, x_{0}+h\right) \)
Also haben wir
\( \begin{aligned} \left|f^{\prime}\left(x_{0}\right)-\frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}\right| &=\left|f^{\prime}\left(x_{0}\right)-\frac{f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right) h+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi) h^{2}-f\left(x_{0}\right)}{h}\right| \\ &=\left|\frac{f^{\prime \prime}(\xi) h}{2}\right| \leq \max _{\xi \in\left[x_{0}, x_{0}+h\right]}\left|\frac{f^{\prime \prime}(\xi) h}{2}\right| \end{aligned} \)