Aufgabe:
Residuum und Lösungsgüte.
Für das lineare Gleichungssystem \( A x=b \) mit
$$ A=\left(\begin{array}{cc} 0.98 & 0.607 \\ 0.423 & 0.262 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c} 0.373 \\ 0.161 \end{array}\right) $$
lautet die exakte Lösung \( \hat{x}=(1,-1)^{\top} \). Gegeben sind die beiden Näherungslösungen
$$ x_{1}=\left(\begin{array}{c} 0.999 \\ -1.001 \end{array}\right), \quad x_{2}=\left(\begin{array}{c} 0.393 \\ -0.02 \end{array}\right) $$
Welche Näherungslösung ist genauer?
a) Das Residuum zu \( x \) ist definiert durch \( r(x):=b-A x \). Bestimmen Sie \( r(x) \) und damit \( \|r(x)\|_{\infty} \) für \( x=\hat{x}, x_{1}, x_{2} . \) Welches Residuum \( r\left(x_{1}\right), r\left(x_{2}\right) \) ist kleiner?
b) Erklären Sie das beobachtete Verhalten mit den Fehlerabschätzungen aus der Vorlesung. Hinweis: Es gilt \( \|A\|_{\infty} \approx 1.6 \) und \( \left\|A^{-1}\right\|_{\infty} \approx 1.4 \cdot 10^{6} \).
könnte mir jemand bitte dabei helfen?
:)
