Abschätzung Tschebyscheff und ZGWS einer Poisson Verteilten Zufallsvariable

Question

Aufgabe:
Xn Folge unabhängiger, identisch Poisson Verteilter Zufallsvariablen mit Parameter 1.
a) Bestimmen Sie die Verteilung von Sn=X1+X2+...+Xn
b) Bestimmen Sie mit der Tschebyscheff- Ungleichung eine untere Abschätzung für P(395<S400<405)
c) Bestimmen Sie mit dem ZGWS eine Näherung für P(395<S400<405)

Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass E(X1)=Var(X1)=1 und E(Sn)=Var(Sn)=n


Meine Lösung:

a)
P(Sn=k)= e^{-n} * 1/(k!)

b)
P(395<S400<405) = P(395-400<S400-400<405-400) = P(|S400-400|<5)

Da E(S400)=400 kann man Tschebyscheff verwenden:

P(|S400-400|<5) = P(|S400-E(S400)|<5) >= 1 - Var(S400)/5^2 = 1- 400/5^2 = 1 - 16 = -15

c)
P(395<S400<405) = P((395-400*1)/sqrt(400*1)) < (S400 - nE(Xn))/sqrt(nVar(Xn)) = (S400-400)/sqrt(400) < (405-400*1)/sqrt(400*1)

= "ungefähr" = N0,1(5/20) - N0,1(-5/20) = 2* N0,1(5/20)-1 = 2* N0,1(0,25)-1 = "Tabelle" = 2*0,59871-1 = 0,19742


Wäre super wenn ihr mir sagen könnt ob ich dies richtig gelöst habe :)
Die Ergebnisse weichen ja stark voneinander ab deswegen bin ich mir nicht sicher ob das stimmt...

Answer 1

Hi,

zu (a)

es gilt $$ P(S_n = k) =  e^{-\sum_{i=1}^n \lambda_i } \cdot \frac{\left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \right)^k }{k!} $$ für \( \lambda_i = 1\) folgt also $$  P(S_n = k ) = e^{-n} \cdot \frac{n^k}{k!}  $$

zu (c)

$$  P( 395 < S_{400} < 405 ) = P( S_{400} \le 404 ) - P( S_{400} \le 396 ) = \\ \Phi \left( \frac{4}{\sqrt{400}} \right) - \Phi \left( -\frac{4}{\sqrt{400}} \right) =  0.158519 $$

Das richtige Ergebnis ist, wenn man die Poissonverteilung benutzt, $$ P( 395 < S_{400} < 405 ) = 0.158359  $$