Berechnen sie Erwartungswert einer zusammengesetzten Zufallsvariable (Poisson-Verteilung)

Question

Aufgabe: Zusammengesetzten Erwartungswert mit poissonverteilter Zufallsvariable.

Sei X eine poissonverteilte Zufallsvariable. Berechnen sie $$E[\frac{1}{(X+1)(X+2)}]$$.

Problem/Ansatz:

$$\sum_{x \in W_x} \frac{1}{(x+1)(x+2)} \cdot e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^x}{x!}$$

$$= e^{-\lambda} \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \frac{1}{(k+1)(k+2)}$$

Nun sieht das Ganze der Reihendarstellung der e-Funktion ja schon sehr ähnlich. Ich verstehe nur noch nicht, was ich mit dem Bruch machen soll.

Comments

Es würde sicher helfen, wenn Du die Reihe mal ordentlich aufschreibst: Was soll i, was soll k, was soll X.....

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Ja richtig, hatte die Indizes durcheinander geschmissen.

Die x sind hierbei die Werte, die die poissonverteilte Zufallsvariable annehmen kann.

Da diese allerdings die gesamten natürlichen Zahlen als Wertebereich hat, habe ich die Summe zu einer Reihe mit Index k umgeschrieben.

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$$\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}\cdot\frac1{(k+1)(k+2)}=\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{(k+2)!}=\frac1{\lambda^2}{\cdot}\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^{k+2}}{(k+2)!}=\frac{e^\lambda-\lambda-1}{\lambda^2}.$$

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Jetzt bin ich gespannt, wer dieser Antwort als "Antwort" abschreibt.

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Das Zusammenfassen zu (k+2)! verstehe ich. Dass man

$$\frac{1}{\lambda^{2}}$$ rauszieht ebenfalls. Kannst du aber den letzten Schritt bitte etwas genauer erklären?

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$$\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^{k+2}}{(k+2)!}=\sum_{k=2}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}-\sum_{k=0}^1\frac{\lambda^k}{k!}=e^\lambda-(1+\lambda).$$