Schnittpunkt und Schnittwinkel bestimmen

Question

Text erkannt:

Gegeben seien die Ebene \( \mathrm{E}:\left[\overrightarrow{\mathrm{x}}-\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 7\end{array}\right)\right] \circ\left(\begin{array}{c}4 \\ -2 \\ -6\end{array}\right)=0 \) und die Gerade \( \mathrm{g}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right) \).
a) Erläutern Sie, welche relative Lage eine Gerade und eine Ebene im Raum einnehmen können und nennen Sie jeweils Kriterien hierfür.
b) Ermitteln Sie die relative Lage von g und E und berechnen Sie ggf. den Schnittpunkt und den Schnittwinkel bzw. den Abstand.

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Comments

https://www.studysmarter.de/schule/mathe/geometrie/winkel-zwischen-gerade-und-ebene/

Answer 1

\( \mathrm{E}:\left[\overrightarrow{\mathrm{x}}-\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 7\end{array}\right)\right] \circ\left(\begin{array}{c}4 \\ -2 \\ -6\end{array}\right)=0 \)

\( \mathrm{g}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right) \)

Schnitt:

\(\left[\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 7\end{array}\right)\right] \circ\left(\begin{array}{c}4 \\ -2 \\ -6\end{array}\right)=0 \)

\(\left[\left(\begin{array}{l}2 \\ -1 \\ -3\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)\right] \circ\left(\begin{array}{c}4 \\ -2 \\ -6\end{array}\right)=0 \)

\(  8+2+18 +\lambda\left(-8-2-18\right)=0 \)

\(  \lambda =1 \)

Damit ist der Ortsvektor des Schnittpunktes :

\(\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+1 \cdot \left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 7\end{array}\right)\)

Nicht stumpfen Winkel α zwischen geeignetem Normalenvektor der Ebene

und dem Richtungsvektor der Geraden mit dem Skalarprodukt der beiden

bestimmen. Das ist hier 0°, da beide kollinear.

Dann ist der gesuchte Schnittwinkel 90°-α . Hier also 90°.

Answer 2

E = g gibt ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und vier Unbekannten. Das hat entweder keine (Gerade parallel zu Ebene), genau eine (Gerade schneidet Ebene) oder unendlich viele Lösungen (Gerade liegt in Ebene).

Comments

Bei diesem Beispiel würde ich das so lösen:

\( \left(\begin{array}{l}3-2\lambda-1 \\ 1+\lambda-2 \\ 4+3\lambda-7\end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c}4 \\ -2 \\ -6\end{array}\right)=0 \)

\( \left(\begin{array}{l}2-2\lambda \\ \lambda-1 \\ 3\lambda-3\end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c}4 \\ -2 \\ -6\end{array}\right)=0 \)

\( (8-8\lambda) + (2-2\lambda) + (18-18\lambda) = 0 \)

\( \lambda = 1 \)                 für den Schnittpunkt

Schnittwinkel: Der Richtungsvektor ist ein Vielfaches des Normalenvektors, und ein Normalenvektor steht senkrecht (normal) auf der Ebene.

Answer 3

Den Schnittpunkt hat mathef sehr gut und richtig ausgerechnet.

Kommen wir jetzt also zum Schnittwinkel:

Du siehst bereits, dass der Richtungsvektor ein Vielfaches des Normalenvektors ist. Daher ist der Schnittwinkel 90°.

Oder du berechnest den Schnittwinkel aufgrund des Normalenvektors der Ebene und des Richtungsvektors der Geraden mittels der bekannten Formel

α = ARCSIN( |[4, -2, -6]·[-2, 1, 3]| / (|[4, -2, -6]|·|[-2, 1, 3]|) ) = 90°

Auch hier kommen natürlich die erwarteten 90° heraus.