Umkehraufgaben der Kostenfunktion

Question

1). Die Nachfragefunktion für einen Artikel lautet p(x) = 200 - 4x. Ein Monopolbetrieb hat die Grenzkosten K'(x) = 0,3x² - 4x + 25, die Gewinnschwelle liegt bei 10 ME. Ermittle die Kostenfunktion, die Gewinngrenze, den Cournot'schen Punkt und den maximalen Gewinn.

2). Die Kostenfunktion eines Monopolbetriebs lautet: K(x) = 0,15x² + 8x + 3600.

Von der Nachfragefunktion sind folgende Werte bekannt:

x	115	140	180	252	310
p(x)	75	73	70	67	65

Ermittle die Gleichung der Nachfragefunktion mittels linearer Regression. (Runde a auf 2 Dezimalen und b auf Ganze.) Berechne die Grenzen des Gewinnbereichs und den Cournot'schen Punkt.

Answer 1

Die Nachfragefunktion für einen Artikel lautet p(x) = 200 - 4x. Ein Monopolbetrieb hat die Grenzkosten K'(x) = 0,3x² - 4x + 25, die Gewinnschwelle liegt bei 10 ME. Ermittle die Kostenfunktion, die Gewinngrenze, den Cournot'schen Punkt und den maximalen Gewinn.

K(x) = 0.1·x^3 - 2·x^2 + 25·x + C

G(x) = 200·x - 4·x^2 - (0.1·x^3 - 2·x^2 + 25·x + C) = - 0.1·x^3 - 2·x^2 + 175·x - C

(- 0.1·x^3 - 2·x^2 + 175·x - C) / (x - 10) = - 0.1·x^2 - 3·x + 145 + (1450 - C)/(x - 10)

Damit das hier aufgeht muss C = 1450 gelten. Damit lautet die Kostenfunktion

K(x) = 0.1·x^3 - 2·x^2 + 25·x + 1450

Den Rest wie Gewinngrenze, den Cournot'schen Punkt und den maximalen Gewinn solltest du jetzt leicht selber bestimmen können.