Differentialrechnung/Umkehraufgabe: Parabel hat die Nullstelle (-1/0) und den Scheitel im Punkt (-3/-4)

Question

Hab eine Aufgabe die ich mal gelöst habe aber ich komme nicht mehr drauf wie^^ Aufgabe: Bestimme den Grad einer Polynomenfunktion aus den Eigenschaften. Ermittle den Funktionsterm. Eine Parabel hat die Nullstelle (-1/0) und den Scheitel im Punkt (-3/-4) Meine ideen^^ Parabel: f(x)=ax^2+bx+c f'(x)=2ax+b Nullstelle: f(-1)= 0 Scheitel: f'(-3)= -4 f(-1)= a-b+c=0 f'(-3)= -6a+b= -4 Ich glaub man braucht noch eine Bedingung

Answer 1

Eine Parabel hat die Nullstelle (-1/0) und den Scheitel im Punkt (-3/-4) Meine ideen^^ Parabel: f(x)=ax²+bx+c f'(x)=2ax+b Nullstelle: f(-1)= 0 Scheitel: f'(-3)= -4 f(-1)= a-b+c=0 f'(-3)= -6a+b= -4 Ich glaub man braucht noch eine Bedingung

Ja. Du hast f(3) = - 4 vergessen

f ' (-3) = 0, da im Scheitelpunkt horizontale Tangente.

Jetzt kommst du bestimmt selbst weiter.

Achtung: Die Parabel hat bestimmt 2 Nullstellen. "die Nullstelle" ist also irreführend.

Comments

Danke. Habs mit Additionsverfahren gelöst

Answer 2

Eine Parabel hat die Nullstelle (-1/0) und den Scheitel im Punkt (-3/-4)

Also Hier würde man doch ganz klar eine Funktion 2. Grades vermuten. Gegeben ist der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt. Damit kann man die Scheitelpunktform aufstellen

Öffnungsfaktor

a = (Py - Sy) / (Px - Sx)^2 = (0 - (-4)) / ((-1) - (-3))^2 = 1

f(x) = a * (x - Sx)^2 + Sy = (x - (-3))^2 + (-4) = (x + 3)^2 - 4 = x^2 + 6x + 5

Comments

Hier noch eine Skizze:

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Kann man das nicht irgendwie durch additionsverfahren oder dergleichen lösen. Diese formel von dir hab ich zum ersten mal gesehen^^

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Ja. Man kann es auch mit einem Gleichungssystem lösen. Da das aber mehr Arbeit erfordert und die Scheitelpunktform im Unterricht normalerwise besprochen wird, mache ich das normal in dieser Form.

Du kannst aber auch davon ausgehen

f(x) = ax^2 + bx + c

f(-1) = 0
a - b + c = 0

f(-3) = -4
9·a - 3·b + c = -4

f'(-3) = 0
b - 6·a = 0

Das Gleichungssystem ergibt die Lösung: a = 1 ∧ b = 6 ∧ c = 5

Das ist auch die Lösung die ich herausbekommen habe.

Answer 3

Nullstelle (-1|0)     Scheitel im Punkt S(-3|-4)→ weitere Nullstelle (-5|0) 

\(f(x)=a*(x+1)*(x+5)\)

S(-3|-4):

\(f(-3)=a*(-3+1)*(-3+5)=a*(-4)=-4\) →\(a=1\)

\(f(x)=(x+1)*(x+5)\)