Dein (n(n+1)/2)2 ist nach Potenzgesetzen
(n(n+1)/2)2 = n^2 ( n+1)^2 / 4 = 1/4 *n^2 * (n+1)^2
Also dasselbe wie im LInk.
Ich kopiere mal den Anfang von JotEs (vgl. Link oben) und ergänze zum Schluss die Rechnung.
Irgendwie ist man zu der Vermutung gekommen, dass die Summe der dritten Potenzen der ersten n natürlichen Zahlen gleich diesem Ausdruck ist, dass also gilt:
1 3 + 2 3 + 3 3 + ... n 3 = ( 1 / 4 ) * n 2 * ( n + 1 ) 2
Und diese Vermutung soll nun durch VI bewiesen werden.
Also zeigt man zunächst, dass diese Vermutung für n = 1 gilt.
Dann nimmt man an, dass sie für ein festes n ≥ 1 gilt und zeigt nun unter Verwendung dieser Annahme, dass sie dann auch für n + 1 gilt, dass dann also auch gilt:
1 3 + 2 3 + 3 3 + ... n 3 + ( n + 1) 3 = ( 1 / 4 ) * ( n + 1 ) 2 * ( n + 2 ) 2
Die Annahme wird verwendet, indem in dieser Gleichung der Term
1 3 + 2 3 + 3 3 + ... n 3 durch ( 1 / 4 ) * n 2 * ( n + 1 ) 2
ersetzt wird, denn laut Induktionsvoraussetzung sind diese beiden Ausdrücke gleich. Die Gleichung lautet dann also:
( 1 / 4 ) * n 2 * ( n + 1 ) 2 + ( n + 1 ) 3 = ( 1 / 4 ) * ( n + 1 ) 2 * ( n + 2 ) 2
und nun wird im weiteren Verlauf nachgewiesen, dass diese Gleichung eine wahre Aussage ist. Ist das gelungen, dann ist gezeigt, dass die ursprüngliche Behauptung:
1 3 + 2 3 + 3 3 + ... n 3 = ( 1 / 4 ) * n 2 * ( n + 1 ) 2
tatsächlich für alle n ≥ 1 gilt.
Behauptung:
( 1 / 4 ) * n 2 * ( n + 1 ) 2 + ( n + 1 ) 3 = ( 1 / 4 ) * ( n + 1 ) 2 * ( n + 2 ) 2
Beweis:
( 1 / 4 ) * n 2 * ( n + 1 ) 2 + ( n + 1 ) 3 |(n+1)^2 ausklammern
= (n+1)^2 * (1/4*n^2 + (n+1)) |rechte Klammer vereinfachen: 1/4 ausklammern
= (n+1)^2 * 1/4 * ( n^2 + 4n + 4) | binomische Formel rückwärts
= (n+1)^2 * 1/4 * (n+2)^2 |sortieren
= ( 1 / 4 ) * ( n + 1 ) 2 * ( n + 2 ) 2 qed Induktionsschritt.
