Polynomdivision, Gewinnschwelle, Gewinnzone usw.

Question

ich hoffe, dass mir hier jemand von euch weiterhelfen kann. Wir schreiben bald eine Matheklausur zum Thema Kurvendiskussion und alles was dazugehört. Und der Lehrer lässt leider etwas zu wünschen übrig. Ich habe mir mehr oder weniger mein gesamtes Wissen über dieses Thema mit Youtube Videos aneignen müssen. In der Schule haben wir halt Textaufgaben, die wir ausrechnen sollen usw. Leider habe ich das Problem, dass ich, sobald ich diese Textaufgabe vor mir habe, nie weiß, was ich zuerst machen soll. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen, dass ich zumindest nicht schon wieder eine 6 in Mathe schreibe. Ich schreibe einfach mal eine Aufgabe hier auf:

Der Kostenverlauf eines Betriebs wird durch die Funktion K mit K(x)= 0,05x³ - 4x² + 110x + 2500 beschrieben. Die Preis-Absatz-Funktion pn lauten pn(x)= -1,25x + 200.

a) Bestimmen Sie die Erlösfunktion und bestätigen Sie rechnerisch den Funktionsterm der Gewinnfunktion G mit G(x)= -0,05x³ + 2,75x² + 90x - 2500.

b) Zeigen Sie, dass die Gewinnschwelle bei 20 ME liegt und geben Sie die Gewinnzone an.

c) Berechnen Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge und den maximalen Gewinn.

 

Das ist zum Beispiel wieder eine Aufgabe, bei der ich bei Gott nicht weiß, womit ich anfangen soll. Einige Dinge habe ich verstanden. Ich weiß zum Beispiel wie ich die Polynomdivision anwende. Ich kann auch Nullstellen erraten und die pq-Formel anwenden. Ich weiß allerdings nie, wann etwas zum Einsatz kommt und was ich da eigentlich rechne. Es wäre super, wenn mir das jemand erklären könnte, wenn möglichst mit Zwischenschritten.

Ich danke schonmal im Voraus und verbleibe mit Hoffnung.

Grüße, T.

Answer 1

K(x) = 0.05·x^3 - 4·x^2 + 110·x + 2500

p(x) = - 1.25·x + 200

 

a) Bestimmen Sie die Erlösfunktion und bestätigen Sie rechnerisch den Funktionsterm der Gewinnfunktion G mit G(x)= -0,05x³ + 2,75x² + 90x - 2500.

E(x) = x·p(x) = x·(- 1.25·x + 200) = 200·x - 1.25·x^2

G(x) = E(x) - K(x) = (200·x - 1.25·x^2) - (0.05·x^3 - 4·x^2 + 110·x + 2500) = - 0.05·x^3 + 2.75·x^2 + 90·x - 2500

 

b) Zeigen Sie, dass die Gewinnschwelle bei 20 ME liegt und geben Sie die Gewinnzone an.

(- 0.05·x^3 + 2.75·x^2 + 90·x - 2500) : (x - 20) = - 0.05·x^2 + 1.75·x + 125

- 0.05·x^2 + 1.75·x + 125 = 0
x = 70.47405025 ∨ x = -35.47405025

Gewinnzone ist von 20 ME bis 70.47 ME

 

c) Berechnen Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge und den maximalen Gewinn.

G'(x) = - 0.15·x^2 + 5.5·x + 90 = 0
x = 48.93

G(48.93) = - 0.05·48.93^3 + 2.75·48.93^2 + 90·48.93 - 2500 = 2630.32 GE

Comments

Danke, das habe ich soweit verstanden, allerdings weiß ich nicht so recht, wie du auf die 48,93 kommst.

Ich würde vermuten, dass du das mittels der Ableitungsregel geschafft hast. Allerdings komme ich, wenn ich das ausrechne auf ein ganz anderes Ergebnis.

Vielleicht könntest du c) nochmal etwas ausführlicher erklären?

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Kommst du bei der Ableitung auf - 0.15·x² + 5.5·x + 90 und dann auf die Bedingung 

- 0.15·x² + 5.5·x + 90 = 0 

Das wäre jetzt ja nur durch -0.15 zu teilen und denn die pq-Formel anzuwenden.

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Ja, das habe ich inzwischen auch gemerkt. Habe nur die vorzeichen vergessen.