Aufgabe: Sei K ein Körper. Ein K-Vektorraum V mit Endomorphismus φ: V → V bestimmt eindeutig eine Struktur von V als K[T]-Modul. Schreiben die jeweilige Struktur als K[T]- Modul (d.h. Formel für die Skalarmultiplikation) explizit auf und entscheide, ist der K[T]-Modul V endlich erzeugt? frei?
(a) K := R, V := R[x], φ := Ableitung d.h. φ(f) := df/dx für ein reelles Polynom f.
(b) K := R, V := C, φ := Konjugation d.h. φ(z) := z für eine komplexe Zahl z.
(c) K := C, V := C(x), φ := Multiplikation mit x d.h. φ(r) := xr für eine rationale Funktion r.
Problem/Ansatz: bei a) habe ich den Ansatz das man die Skalarmultiplikation villiecht aufteilt auf zwei teile. Für multiplikation mit elementen aus R und als multiplikation mit (T) und wenn mann diese genug oft wuederholt kann man sozusagen die polynome erstellen. Aber ich weiss erlich gesagt nicht wie das gehen soll.
