Bestimmen Sie den Konvergenzradius und das zugehörige Konvergenzintervall der nebenstehenden Potenzreihe

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\begin{array}{l}3 n+3 \\ 2 n-2\end{array}\right) \cdot(x+3)^{n} \)

kann jemand diese Fragen Lösen

Comments

Du hast in Driner Vorlesung 2 Formeln / Techniken zur Berechnung des Konvergenzradius kennengelernt. Ich würde die mit den Quotienten probieren

Answer 1

Betrachte erstmal

  \(a_n= \left(\begin{array}{l}3 n+3 \\ 2 n-2\end{array}\right) = \frac{(3n+3)!}{(2n-2)!\cdot (n+5)!} \)

und \(a_{n+1} = \left(\begin{array}{l}3 (n+1)+3 \\ 2( n+1)-2\end{array}\right) = \frac{(3n+6)!}{(2n)!\cdot (n+6)!} \)

und dann den Quotienten

\(  \frac{a_n}{a_{n+1}} =\frac{(3n+3)!(2n)!(n+6)!}{(2n-2)!(n+5)!(3n+6)!} =\frac{(2n)(2n-1)(n+6)}{(3n+6)(3n+5)(3n+4)}\)

Für n gegen unendlich geht das gegen den Konvergenzradius \( r=\frac{4}{27} \).