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Um den Konvergenzradius \(r\) der Potenzreihe$$p(x)\coloneqq\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{2^k+3^k}=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\,x^k\quad;\quad a_k\coloneqq\frac{1}{2^k+3^k}$$zu bestimmen, benötigen wir den folgenden Grenzwert:
$$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{2^k+3^k}}{\frac{1}{2^{k+1}+3^{k+1}}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{2^{k+1}+3^{k+1}}{2^k+3^k}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{3^{k+1}\left(\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}}+1\right)}{3^k\left(\frac{2^k}{3^k}+1\right)}$$$$\phantom{r}=3\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1+\left(\frac{2}{3}\right)^{k+1}}{1+\left(\frac{2}{3}\right)^k}=3\cdot\frac{1+\lim\limits_{k\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{k+1}}{1+\lim\limits_{k\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k}=3\cdot\frac{1+0}{1+0}=3$$Die Potenzreihe konvergiert also sicher für \(|x|<3\)
An den Rändern \(x=\pm3\) des Konvergenzintervalls wird die Potentreihe zu$$p(\pm3)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(\pm3)^k}{2^k+3^k}$$deren Konvergenz wir mit dem Quotientenkriterium prüfen wollen:
$$\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{\frac{(\pm3)^{k+1}}{2^{k+1}+3^{k+1}}}{\frac{(\pm3)^k}{2^k+3^k}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{(\pm3)^{k+1}}{2^{k+1}+3^{k+1}}\cdot\frac{2^k+3^k}{(\pm3)^k}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{(\pm3)^{k+1}}{(\pm3)^k}\cdot\frac{2^k+3^k}{2^{k+1}+3^{k+1}}\right|$$$$=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\pm3\cdot\frac{2^k+3^k}{2^{k+1}+3^{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{3\cdot(2^k+3^k)}{2^{k+1}+3^{k+1}}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{3\cdot2^k+3^{k+1}}{2^{k+1}+3^{k+1}}$$$$=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{(1+2)\cdot2^k+3^{k+1}}{2^{k+1}+3^{k+1}}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{2^k+2^{k+1}+3^{k+1}}{2^{k+1}+3^{k+1}}=\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{2^k}{2^{k+1}+3^{k+1}}\right)=1$$
Der Quotient konvergiert also von oben her gegen \(1\), daher konvergiert die Potenzreihe nicht an den Rändern des Konvergenzintervalls.
