Für welchen Wert von t is die Länge dieser Strecke am kleinsten?

Question

Aufgabe:

Die Graphen von f(x)=x² und g(x)=2×lnx schneiden aus der senkrechten Geraden x=t (t>0) eine Strecke heraus. Für welchen Wert von t is die Länge dieser Strecke am kleinsten?

Problem/Ansatz:

Wir haben das Thema Extremwertaufgaben erst neu und bisher habe ich es auch relativ gut verstanden, aber bei der Aufgabe bin ich ehrlich gesagt planlos.

Comments

Alles falsch gelesen

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... hat die Gleichung d(t)=t²-2ln(t). Ihr Graph:

~plot~ x^2-2*x*ln(x);[[-1|5|-1|3]] ~plot~
das ist der Graph von \(d(t)=t^2 - 2 {\color{red}t} \ln(t)\)

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Ich denke,

$$f(t)=2t^2-2×ln (t)$$

bedeutet

$$f(t)=2t^2-2*ln(t)$$

$$×≠x=t$$

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Das "x" zwischen 2 und ln(x) war wohl ein *.

Answer 1

Die Länge ist   d(t) = f(t)-g(t) = t^2 - 2ln(t)

==>  d ' (t) = 2t - 2/t .  also d '(t) = 0 <=> t=1   (für t>0 )

und d ' ' (1) > 0 . Also Minimum bei t=1

Comments

Achtung: f ''(1)=0, also kein Extremum.

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d ' ' (t) = 2+2/t^2 also für t=1   d ' ' (1)= 4 .

Damit ist: d ' (1)=0 und d ' ' (1) > 0

==>  lok. Minimum bei t=1 .

Answer 2

$$f(x)=x^2$$und $$g(x)=2*lnx$$$$d(t)=t^2-2*ln(t)$$$$d'(t)=2t-2/t=0$$$$2t=2/t$$$$t^2=1$$$$t=1$$$$d''(t)=2+2/t^2>0$$$$d(1)=1^2-2*ln(1)=1$$$$TP  (1 ; 1)$$