Aloha :)
Aus dem Ort \(\vec x(t)\) bestimmen wir die Geschwindigkeit \(\vec v(t)\) durch Ableiten$$\vec x(t)=\begin{pmatrix}t\\t^2\\(t-1)^2\end{pmatrix}\quad\implies\quad\vec v(t)=\begin{pmatrix}1\\2t\\2(t-1)\end{pmatrix}\quad;\quad 0<t<1$$
Der Betrag der Geschwindigkeit ist:$$v(t)=\sqrt{1^2+(2t)^2+(2(t-1))^2}=\sqrt{1+4t^2+4(t^2-2t+1)}=\sqrt{8t^2-8t+5}$$$$\phantom{v(t)}=\sqrt8\cdot\sqrt{t^2-t+\frac{5}{8}}=\sqrt8\cdot\sqrt{t^2-t+\frac{1}{4}+\frac{3}{8}}=\sqrt8\cdot\sqrt{\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{8}}$$
Man sieht jetzt schon, dass für \(t=\frac{1}{2}\) das Quadrat minimal wird und damit die Geschwindigkeit \(v(t)\):
$$v\left(t=\frac{1}{2}\right)=\sqrt8\cdot\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt3\to\text{Minimum}$$
Alternativ dazu könnte man auch die Ableitung von \(v(t)\) gleich null setzen:$$0\stackrel!=\frac{16t-8}{2\sqrt{8t^2-8t+5}}\implies t=\frac{1}{2}$$Dann muss man aber noch die zweite Ableitung bilden, um zu entscheiden, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt. Das haben wir uns durch die Umformung oben gespart.
Da die Differentialrechnung nur in offenen Intervallen angewendet werden kann, können weitere Extrema an den Rändern des Intervalls \(0<t<1\) auftreten. Wir prüfen das nach:$$v(0)=\sqrt8\cdot\sqrt{\frac{5}{8}}=\sqrt5\quad;\quad v(1)=\sqrt8\cdot\sqrt{\frac{5}{8}}=\sqrt5$$An den Rändern des Intervalls hat die Geschwindigkeit ihre Maxima.
~plot~ sqrt(8)*sqrt(x^2-x+5/8) ; [[0|1|0|3]] ~plot~
