Anwendung von Exponentialfunktionen: d) Wann ist die Temperaturdifferenz am grössten?

Question

Aufgabe:

In einem Labor soll das Wachstum von Pflanzen bei verschiedenen Temperaturen und Temperaturverläufen erforscht werden. Um unterschiedliche Temperaturverläufe zu erzeugen regelt man im

• Raum R1 die Temperatur gemäß der Formel: \( C_{1}(t)=6 \cdot t \cdot e^{\frac{1}{2}(2-t)} \) und im
• Raum R2 gemäß der Formel: \( C_{2}(t)=12 \cdot e^{\frac{1}{2}(2-t)} \) verändert wird.

Dabei gibt \( 0 \leq t \leq 10 \) die Zeit in Tagen an und \( C_{1}(t) \) sowie \( C_{2}(t) \) jeweils die Raumtemperatur
in °C ist.

a) Ermitteln Sie die Raumtemperatur beider Räume nach 5 Tagen.

b) Beschreiben Sie den Forschungsansatz in beiden Räumen, indem Sie den Verlauf der Graphen benutzen.

c) Berechnen Sie, wann in beiden Räumen dieselbe Temperatur vorherrscht.

d) Geben Sie an, wann für t > 2 die Temperaturdifferenz beider Räume am größten ist?

Kontrolllösung: \( d^{\prime}(t)=-3 \cdot(t-4) \cdot e^{\frac{1}{2}(z-t)} \)

Ansatz:

Ich habe bei diesem Aufgabe Probleme. Von a bis C habe ich gelöst aber D kriege ich leider nicht hin. Kann einer bitte mir sagen, wie ich die Aufgabeteil d lösen kann?

Answer 1

d) Geben Sie an, wann für t > 2 die Temperaturdifferenz beider Räume am größten ist.

d(t) = C1(t) - C2(t) = 6·t·e^(1/2·(2 - t)) - 12·e^(1/2·(2 - t)) = e^(1/2·(2 - t))·(6·t - 12) = e^(1 - 1/2·t)·(6·t - 12)
d'(t) = -1/2·e^(1 - 1/2·t)·(6·t - 12) + e^(1 - 1/2·t)·(6) = e^(1 - 1/2·t)·(- 3·t + 6 + 6) = e^(1 - 1/2·t)·(12 - 3·t) = 0 → t = 4 Tagen

Answer 2

a) t=5 einsetzen: C₁(5)=30·e^-3/2 C₂(5)=60·e^-3/2.

b)

 

c) Für welches t ist C₂(t)=C₁(t)? Antwort::für t=0.

d) d(t)= C₂(t)-C₁(t). d'(t)=-3(t-4)·e^(2-t)/2. Nullstelle für t=4