'beschränktes Wachstum' ist mir neu. Ich gehe aber davon aus, dass dies ein Wachstum ist, bei dem der Anstieg (hier der der Temperatur) proportional zum Abstand eines Zustands (der Temperatur) zu einer Grenze (hier 30°) ist. Dann lässt sich dies mit folgender Funktion beschreiben
f(t)=TG−(TG−T0)e−kt Hier ist TG=30°C die Grenztemperatur. Wärmer als ihre Umgebung kann die Limonade in der Flasche nicht werden (solange sie nicht in der Sonne steht!). T0=5°C ist die Temperatur der Limonade zum Zeitpunkt t=0. k ist ein Faktor und t die Zeit, die seit dem Rausholen aus dem Kühlschrank vergangen ist.
Dem Faktor k berechnet man aus der Vorgabe, dass f(t=5min)=10°C ist. Einsetzen ergibt
f(t=5min)=30°C−25°C⋅e−k⋅5min=10°C
nach k auflösen gibt
e−k⋅5min=−2510−30=0,8 −k⋅5min=ln(0,8) k=−51ln(0,8)min−1≈0,0446min−1 ⇒ f(t)=30°C−25°C⋅e−0,0446min−1⋅t
Plotlux öffnen f1(x) = 30-25·exp(-0,0446·x)f2(x) = 30Zoom: x(-1…50) y(-1…32)P(5|10)P(10|14)
b) t=10min in f(t) einsetzen
f(10min)=30°C−25°C⋅e−0,0446min−1⋅10min=14°C Diesen Aufgabenteil b) könnte man auch anders lösen. Die Temperaturdifferenz von Anfangs 30°C−5°C=25°C reduziert sich in 5min um ein fünftel auf 20°C. Dieser Faktor bleibt erhalten! Nach weiteren 5min reduziert sich die Differenz wieder um ein fünftel auf 16°C. Also beträgt die Temperatur nach 10min 30°C−16°C=14°C.
c) Einsetzen und nach der Zeit auflösen
15°C=30°C−25°C⋅e−0,0446min−1⋅t t=−0,04461min⋅ln(−2515−30)≈11,4min
... usw.
Gruß Werner