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Aufgabe:

Eine Flasche gekühlte Limonade wird an einem Sommertag aus dem Kühlschrank mit einer Temperatur von 5C 5^{\circ} \mathrm{C} entnommen und auf den Gartentisch bei einer Lufttemperatur von 30C 30^{\circ} \mathrm{C} gestellt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limonade bereits 10C 10^{\circ} \mathrm{C} .

a) Nehmen Sie für die Temperatur der Limonade ein beschränktes Wachstum an und bestimmen Sie eine Funktion f, f, die die Temperatur der Limonade beschreibt. Dabei soll t t die Zeit in Minuten nach der Entnahme aus dem Kühlschrank und f(t) f(t) die Temperatur in C ^{\circ} \mathrm{C} beschreiben.

b) Geben Sie die Temperatur der Limonade nach 10 Minuten an.

c) Bestimmen Sie die Zeit, die für eine Erwärmung auf 15C 15^{\circ} \mathrm{C} benötigt wird.

d) Berechnen Sie die Temperaturänderung nach 10 Minuten.

e) Berechnen Sie das 15-Minuten-Zeitintervall, in dem sich die Temperatur um 5C 5^{\circ} \mathrm{C} erhöht.

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'beschränktes Wachstum' ist mir neu. Ich gehe aber davon aus, dass dies ein Wachstum ist, bei dem der Anstieg (hier der der Temperatur) proportional zum Abstand eines Zustands (der Temperatur) zu einer Grenze (hier 30°) ist. Dann lässt sich dies mit folgender Funktion beschreiben

f(t)=TG(TGT0)ektf(t) = T_G - (T_G - T_0) e^{-kt} Hier ist TG=30°CT_G=30°\text{C} die Grenztemperatur. Wärmer als ihre Umgebung kann die Limonade in der Flasche nicht werden (solange sie nicht in der Sonne steht!). T0=5°CT_0=5°\text{C} ist die Temperatur der Limonade zum Zeitpunkt t=0t=0. kk ist ein Faktor und tt die Zeit, die seit dem Rausholen aus dem Kühlschrank vergangen ist.

Dem Faktor kk berechnet man aus der Vorgabe, dass f(t=5min)=10°Cf(t=5 \text{min}) = 10°\text{C} ist. Einsetzen ergibt

f(t=5min)=30°C25°Cek5min=10°Cf(t=5 \text{min}) = 30°\text{C} - 25°\text{C} \cdot e^{-k \cdot 5 \text{min}} = 10°\text{C}

nach kk auflösen gibt

ek5min=103025=0,8e^{-k \cdot 5 \text{min}} = \frac{10 - 30}{-25}=0,8 k5min=ln(0,8)-k \cdot 5 \text{min} = \ln(0,8) k=15ln(0,8)min10,0446min1k= -\frac15 \ln(0,8) \text{min}^{-1} \approx 0,0446 \text{min}^{-1}  f(t)=30°C25°Ce0,0446min1t\Rightarrow \space f(t)= 30°\text{C} - 25°\text{C} \cdot e^{-0,0446 \text{min}^{-1} \cdot t}

Plotlux öffnen

f1(x) = 30-25·exp(-0,0446·x)f2(x) = 30Zoom: x(-1…50) y(-1…32)P(5|10)P(10|14)


b) t=10mint=10\text{min} in f(t)f(t) einsetzen

f(10min)=30°C25°Ce0,0446min110min=14°Cf(10\text{min})= 30°\text{C} - 25°\text{C} \cdot e^{-0,0446 \text{min}^{-1} \cdot 10\text{min}} = 14 °\text{C} Diesen Aufgabenteil b) könnte man auch anders lösen. Die Temperaturdifferenz von Anfangs 30°C5°C=25°C30°\text{C}-5°\text{C}=25°\text{C} reduziert sich in 5min5\text{min} um ein fünftel auf 20°C20°\text{C}. Dieser Faktor bleibt erhalten! Nach weiteren 5min5\text{min} reduziert sich die Differenz wieder um ein fünftel auf 16°C16°\text{C}. Also beträgt die Temperatur nach 10min10\text{min} 30°C16°C=14°C30°\text{C} - 16°\text{C}=14°\text{C}.


c) Einsetzen und nach der Zeit auflösen

15°C=30°C25°Ce0,0446min1t15°\text{C} = 30°\text{C} - 25°\text{C} \cdot e^{-0,0446 \text{min}^{-1} \cdot t} t=10,0446minln(153025)11,4mint = \frac{1}{-0,0446} \text{min} \cdot \ln \left( \frac{15 - 30}{-25}\right) \approx 11,4 \text{min}


... usw.

Gruß Werner

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