Beschränktes Wachstum: Bestimmen Sie eine Funktion, die die Temperatur der Limonade beschreibt

Question

Aufgabe:

Eine Flasche gekühlte Limonade wird an einem Sommertag aus dem Kühlschrank mit einer Temperatur von \( 5^{\circ} \mathrm{C} \) entnommen und auf den Gartentisch bei einer Lufttemperatur von \( 30^{\circ} \mathrm{C} \) gestellt. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Limonade bereits \( 10^{\circ} \mathrm{C} \).

a) Nehmen Sie für die Temperatur der Limonade ein beschränktes Wachstum an und bestimmen Sie eine Funktion \( f, \) die die Temperatur der Limonade beschreibt. Dabei soll \( t \) die Zeit in Minuten nach der Entnahme aus dem Kühlschrank und \( f(t) \) die Temperatur in \( ^{\circ} \mathrm{C} \) beschreiben.

b) Geben Sie die Temperatur der Limonade nach 10 Minuten an.

c) Bestimmen Sie die Zeit, die für eine Erwärmung auf \( 15^{\circ} \mathrm{C} \) benötigt wird.

d) Berechnen Sie die Temperaturänderung nach 10 Minuten.

e) Berechnen Sie das 15-Minuten-Zeitintervall, in dem sich die Temperatur um \( 5^{\circ} \mathrm{C} \) erhöht.

Answer 1

'beschränktes Wachstum' ist mir neu. Ich gehe aber davon aus, dass dies ein Wachstum ist, bei dem der Anstieg (hier der der Temperatur) proportional zum Abstand eines Zustands (der Temperatur) zu einer Grenze (hier 30°) ist. Dann lässt sich dies mit folgender Funktion beschreiben

$$f(t) = T_G - (T_G - T_0) e^{-kt}$$ Hier ist \(T_G=30°\text{C}\) die Grenztemperatur. Wärmer als ihre Umgebung kann die Limonade in der Flasche nicht werden (solange sie nicht in der Sonne steht!). \(T_0=5°\text{C}\) ist die Temperatur der Limonade zum Zeitpunkt \(t=0\). \(k\) ist ein Faktor und \(t\) die Zeit, die seit dem Rausholen aus dem Kühlschrank vergangen ist.

Dem Faktor \(k\) berechnet man aus der Vorgabe, dass \(f(t=5 \text{min}) = 10°\text{C}\) ist. Einsetzen ergibt

$$f(t=5 \text{min}) = 30°\text{C} - 25°\text{C} \cdot e^{-k \cdot 5 \text{min}} = 10°\text{C}$$

nach \(k\) auflösen gibt

$$e^{-k \cdot 5 \text{min}} = \frac{10 - 30}{-25}=0,8$$ $$-k \cdot 5 \text{min} = \ln(0,8)$$ $$k= -\frac15 \ln(0,8) \text{min}^{-1} \approx 0,0446 \text{min}^{-1}$$ $$\Rightarrow \space f(t)= 30°\text{C} - 25°\text{C} \cdot e^{-0,0446 \text{min}^{-1} \cdot t}$$

~plot~ 30 - 25*exp(-0.0446*x);30;[[-1|+50|-1|32]];{5|10};{10|14} ~plot~

b) \(t=10\text{min}\) in \(f(t)\) einsetzen

$$f(10\text{min})= 30°\text{C} - 25°\text{C} \cdot e^{-0,0446 \text{min}^{-1} \cdot 10\text{min}} = 14  °\text{C}$$ Diesen Aufgabenteil b) könnte man auch anders lösen. Die Temperaturdifferenz von Anfangs \(30°\text{C}-5°\text{C}=25°\text{C}\) reduziert sich in \(5\text{min}\) um ein fünftel auf \(20°\text{C}\). Dieser Faktor bleibt erhalten! Nach weiteren \(5\text{min}\) reduziert sich die Differenz wieder um ein fünftel auf \(16°\text{C}\). Also beträgt die Temperatur nach \(10\text{min}\) \(30°\text{C} - 16°\text{C}=14°\text{C}\).

c) Einsetzen und nach der Zeit auflösen

$$15°\text{C} = 30°\text{C} - 25°\text{C} \cdot e^{-0,0446 \text{min}^{-1} \cdot t}$$ $$t = \frac{1}{-0,0446} \text{min} \cdot \ln \left( \frac{15 - 30}{-25}\right) \approx 11,4 \text{min}$$

... usw.

Gruß Werner