Hi,
Schreibe erstmal die Summe um:
$$ \sum_{n=0}^{\infty}{(n+1)^2*sinh(n+1)*{ (x -5)}^{ n+1 }}=\sum_{n=1}^{\infty}n^2*sinh(n)*{ (x -5)}^{ n } $$
$$ { a }_{ n } = n^2*sinh(n)\neq 0 $$ für n∈ ℕ, n>=1
Daher kannst du das Quotientenkriterium anwenden, um den Konvergenzradius zu berechnen:
$$ r=\lim_{n\to\infty} abs(\frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n+1 } }) =\lim_{n\to\infty} abs(\frac { n^2*sinh(n) }{ (n+1)^2*sinh(n+1) })=\lim_{n\to\infty} abs(\frac { n^2 }{ (n+1)^2 }*\frac { (e^n-{ e }^{ -n }) }{ ({ e }^{ n+1 }-{ e }^{ -(n+1) }) })$$
Den Betrag kann man nun weglassen, weil alle Terme stets positiv sind.
$$\lim_{n\to\infty}\frac { n^2 }{ (n+1)^2 }*\frac { (e^n-{ e }^{ -n }) }{ ({ e }^{ n+1 }-{ e }^{ -(n+1) }) }=\lim_{n\to\infty} \frac { n^2 }{ (n+1)^2 }*(\frac { e^n }{ ({ e }^{ n+1 }-{ e }^{ -(n+1) }) }-\frac { { e }^{ -n } }{ ({ e }^{ n+1 }-{ e }^{ -(n+1) }) })=\lim_{n\to\infty} \frac { n^2 }{ (n+1)^2 }*(\frac { 1 }{ ({ e }-{ e }^{ -2n-1 }) }-\frac { 1 }{ ({ e }^{ 2n+1 }-{ e }^{ -1 }) })=\lim_{n\to\infty} \frac { n^2 }{ (n+1)^2 }*\lim_{n\to\infty}(\frac { 1 }{ ({ e }-{ e }^{ -2n-1 }) }-\frac { 1 }{ ({ e }^{ 2n+1 }-{ e }^{ -1 }) })=\lim_{n\to\infty} \frac { n^2 }{ (n+1)^2 }*(\lim_{n\to\infty}\frac { 1 }{ ({ e }-{ e }^{ -2n-1 }) }-\lim_{n\to\infty}\frac { 1 }{ ({ e }^{ 2n+1 }-{ e }^{ -1 }) }) =1*(\frac { 1 }{ e }-0)=\frac { 1 }{ e }$$
Die Reihe konvergiert also für x ∈ (5-1/e,5+1/e). Die Außengrenzen x = 5 ± 1/e muss man noch zusätzlich einsetzten und ausprobieren ob es konvergiert.
