Konvergenzintervall bestimmen?

Question

ich soll hier das Konvergenzintervall bestimmen:

$\int \sum \limits_{n=0}^{\infty}(n+1)^{2} \sinh (n+1)(x-5)^{n+1} d x$

Kann mir jemand weiterhelfen wie ich hier vorgehen muss?

Answer 1

Für Quotientenkriterium betrachte

| an / an+1 | =  | (   (n+1)² * sinh(n+1)  )     /  (  ( n+2)² * sinh( n+2)  )       |

=   |   (  (n+1)² / ( n+2)² )     *    (  sinh(n+1) /  sinh( n+2)   )   |

Der erste Bruch geht gegen 1 und der zweite wird mit dem Add.theorem behandelt:

  sinh(n+1) /  sinh( n+2)    =     sinh(n+1) / ( sinh( n+1) * cosh(1)  + cosh(n+1)*sinh(1)  ) 

                                         =    1 /      (  cosh(1)  + sinh(1) / tanh(n+1)  ) 

Und für n gegen unendlich geht tanh(n+1)  gegen 1 , also ist der Grenzwert

des 2. Bruches    1 /  (   cosh(1)  + sinh(1)) 

=   1 /  (  0,5(e - e^-1 ) + o,5 ( e + e ^-1 )  )

= 1 /  e

Also ist der Konv.radius  1/e .

Answer 2

Hi,

Schreibe erstmal die Summe um:

$$\sum_{n=0}^{\infty}{(n+1)^2*sinh(n+1)*{ (x -5)}^{ n+1 }}=\sum_{n=1}^{\infty}n^2*sinh(n)*{ (x -5)}^{ n }$$

$${ a }_{ n } = n^2*sinh(n)\neq 0$$ für n∈ ℕ, n>=1

Daher kannst du das Quotientenkriterium anwenden, um den Konvergenzradius zu berechnen:

$$r=\lim_{n\to\infty} abs(\frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n+1 } }) =\lim_{n\to\infty} abs(\frac { n^2*sinh(n) }{ (n+1)^2*sinh(n+1) })=\lim_{n\to\infty} abs(\frac { n^2 }{ (n+1)^2 }*\frac { (e^n-{ e }^{ -n }) }{ ({ e }^{ n+1 }-{ e }^{ -(n+1) }) })$$

Den Betrag kann man nun weglassen, weil alle Terme stets positiv sind.

$$\lim_{n\to\infty}\frac { n^2 }{ (n+1)^2 }*\frac { (e^n-{ e }^{ -n }) }{ ({ e }^{ n+1 }-{ e }^{ -(n+1) }) }=\lim_{n\to\infty} \frac { n^2 }{ (n+1)^2 }*(\frac { e^n }{ ({ e }^{ n+1 }-{ e }^{ -(n+1) }) }-\frac { { e }^{ -n } }{ ({ e }^{ n+1 }-{ e }^{ -(n+1) }) })=\lim_{n\to\infty} \frac { n^2 }{ (n+1)^2 }*(\frac { 1 }{ ({ e }-{ e }^{ -2n-1 }) }-\frac { 1 }{ ({ e }^{ 2n+1 }-{ e }^{ -1 }) })=\lim_{n\to\infty} \frac { n^2 }{ (n+1)^2 }*\lim_{n\to\infty}(\frac { 1 }{ ({ e }-{ e }^{ -2n-1 }) }-\frac { 1 }{ ({ e }^{ 2n+1 }-{ e }^{ -1 }) })=\lim_{n\to\infty} \frac { n^2 }{ (n+1)^2 }*(\lim_{n\to\infty}\frac { 1 }{ ({ e }-{ e }^{ -2n-1 }) }-\lim_{n\to\infty}\frac { 1 }{ ({ e }^{ 2n+1 }-{ e }^{ -1 }) }) =1*(\frac { 1 }{ e }-0)=\frac { 1 }{ e }$$

Die Reihe konvergiert also für x ∈ (5-1/e,5+1/e). Die Außengrenzen x = 5 ± 1/e muss man noch zusätzlich einsetzten und ausprobieren ob es konvergiert.