Zeigen Sie, dass für die Kondition bzgl.

Question

Aufgabe:

a) Sei B ∈ ℝ^nxn eine symmetrische, positiv definite Matrix. Zeigen Sie, dass für die Kondition bzgl. der 2-Norm gilt:

cond₂(B) = $\frac{λmax(B)}{λmin(B)}$

b) Sei A ∈ ℝ^nxn eine schwach diagonaldominante Matrix, dann sind alle Eigenwerte von A nicht negativ.

Ich habe leider keine Ahnung, wie ich hier vorgehen kann bzw. wie ich auf das Ergebnis kommen könnte.

Comments

Zu a): Wie ist Kondition definiert?

Zu b): Wäre -I nicht auch diagonaldominant?

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Zu b): Ja, stimmt. Die Aussage, so wie sie in der Aufgabe steht, ist falsch.

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cond_M (A)= ||A^-1||_M · ||A||_M

Ah, das Gegenbeispiel ist mir nicht in den Sinn gekommen, danke!

Answer 1

Es sei B also eine symmetrische positive definite Matrix mit

Eigenwerten $0<s_1 \leq \ldots \leq s_n$

Diagonalisierung: $A=B^TDB$ mit einer Diagonalmatrix aus Eigenwerten und der orthonormalen Transformation B ( aus Eigenvektoren)

Damit gilt:

$$\frac{\|Bx\|^2}{\|x\|^2}=\frac{\langle B^TDBx,B^TDBx\rangle}{\langle x,x\rangle}=\frac{\langle DBx,DBx\rangle}{\langle Bx,Bx\rangle}$$

Mit $y:=Bx$ folgt

$$\frac{\|Bx\|^2}{\|x\|^2}=\frac{\sum_{i=1}^n s_i^2y_i^2}{\sum_{i=1}^ny_i^2} \leq s_n^2$$

Tatsächlich ist diese Abschätzung auch Maximum, wenn man für y den n-ten Einheitsvektor einsetzt.

Damit ist also gezeigt:

$$\|B\|=\sup\{\frac{\|Bx\|}{\|x\|} \mid x \in \R^n, x\neq 0\}=s_n$$

Analog ergibt sich für die Inverse $s_1$.

Comments

mit einer Diagonalmatrix aus Eigenvektoren

Soll wohl mit Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen heißen?

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Ja, danke, habe es korrigiert