Berechnen Sie die Koeffizienten so, dass die Quadraturformel exakt ist

Question

Aufgabe:

Gegeben das Intervall [-2,4]. Berechnen Sie die Koeffizienten a₀, a₁, a₂ so, dass die Quadraturformel

Q(f) := a₀f(-2) + a₁f(1) + a₂f(4) zur näherungsweisen Berechnung von \( \int\limits_{-2}^{4} \) f(x) dx eine möglichst hohe Exaktheit hat.

Problem/Ansatz:

Die Quadraturformel heißt ja exakt auf P, wenn Q_n(p) = I(p) gilt.

Wie kann ich das zeigen?

Comments

schau mal hier oder hier.

Answer 1

Die Formel soll exakt sein für Polynome möglichst hohen Grad.

Du sollst nicht zeigen, dass sie exakt ist (Du kennst sie ja gar nicht), sondern Du sollst die Gewichte so bestimmen, dass sie exakt ist (für ...). Schau erstmal, dass die Aufgabe verstehst.

Und dann nacheinander Polynome \(1, x, x^2,...\) einsetzen und die Gleichung für Exaktheit aufstellen. Wenn Du genügend Gleichungen zusammen hast für die drei Unbekannten: Lösen.

Comments

Also wenn ich a₀ ausrechnen möchte, müsste ich so vorgehen:

L₀ = \( \frac{x-1}{-2-1} \) · \( \frac{x-4}{-2-4} \) = -\( \frac{1}{18} \)(x²-5x+4)

a₀ = \( \int\limits_{-2}^{4} \) L₀ = \( \int\limits_{-2}^{4} \)-\( \frac{1}{18} \)(x2-5x+4)dx

Und das ausrechnen und für a₁ und a₂ so weiter?

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Nein. Wie oben gesagt: \(Q(p)=I(p)\) für \(p=1\) ergibt erste Gleichung. Für \(p=x\) gibt zweite Gleichung, usw. Such nicht wieder (wie bei deinen vorigen Fragen) einen komplizierten Weg, sondern verstehe erstmal was hier gefordert ist. Gibt es keine Vorlesung zu diesen Aufgaben?