Quadrat hat alle Ziffern.

Question

Wähle a, b ∈ℕ so, dass (3·10⁴+a·10³+b·10+3)² aufgelöst die Ziffern von 0 bis 9 je genau einmal enthält.

Comments

(3·10^4+a·10^3+b·10+3)^2

=\( 1000000 a^{2}+20000 a b+60006000 a+100 b^{2}+600060 b+900180009 \)

Die letzte Ziffer ist eine 9, bleiben 0,...,8.

\(\ldots=( 100000 a^{2}+2000 a b+6000600 a+10 b^{2}+60006 b+90018000)\cdot 10+9 \)

Die Zehnerziffer wird durch 60b bestimmt, ist also auf jeden Fall gerade.

...

Nach Internet-Recherche:

1026753849=32043^2

Also a=2, b=4

Es gibt noch mehr Lösungen, z.B.

7285134609 =85353^2, a=55, b=35

7351862049 =85743^2, a=55, b=74

7362154809 =85803^2, a=55, b=80

7408561329 =86073^2, a=56, b=7

http://perplexus.info/show.php?pid=10821&cid=58361

:-)

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Es gibt noch mehr Lösungen ...

ich habe 647. Hat jemand mehr?

Die Frage ist doch eher, ob diese Frage in die Stacklounge verschoben werden sollte - oder? ;-)

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ich habe 647

Es gibt doch nur 77 pandigitale Quadratzahlen.

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Es gibt doch nur 77 pandigitale Quadratzahlen.

mag sein. Ist aber tatsächlich kein Widerspruch zu meiner Aussage. Roland forderte uns auf:

Wähle \(a,\, b \in\mathbb{N}\) so, dass ...

und ich behaupte, es gibt 647 unterschiedliche(!) Paare \((a,\,b)\), die - eingesetzt in obigen Term - eine pandigitale Zahl ergeben. Davon z.B. allein 60 Paare, die die Zahl 8127563409 liefern. Hier ein paar Beispiele:$$f(1,5915)^2 = 90153^2 = 8127563409\\ f(2,5815)^2 = 90153^2 = 8127563409\\ f(3,5715)^2 = 90153^2 = 8127563409\\ f(4,5615)^2 = 90153^2 = 8127563409$$Betrachtet man die Funktion$$f(a,b) =  (3·10^{4}+a·10^{3}+b·10+3)^{2}$$so gilt doch ganz allgemein$$f(a,b) = f(a+1,b-100)$$und das erklärt die Menge der Lösungen.

Es werden übrigens nur 16 unterschiedliche Quadratzahlen gefunden.

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@Werner

Danke für deine interessanten Erläuterungen.

Ich vermute, dass Rolands eigentliche Idee war, einstellige Werte fur a und b zu finden, also a=2 und b=4.