Bestimmen Sie das Fassungsvermögen des insgesamt 16

Question

Ein Getreidesilo ist \( 16 \mathrm{~m} \) hoch. Vereinfacht dargestellt besteht es aus einem Zylinder mit einer aufgesetzten Halbkugel.
a) Bestimmen Sie das Fassungsvermögen des insgesamt \( 16 \mathrm{~m} \) hohen Silos in Abhängigkeit vom inneren Radius x des Zylinders.

c) Untersuchen Sie anhand einer Wertetabelle oder eines Graphen, ob es einen Wert für den Radius gibt, für den das Volumen des Silos maximal wird.

Answer 1

Ein Getreidesilo ist \( 16 \mathrm{~m} \) hoch. Vereinfacht dargestellt besteht es aus einem Zylinder mit einer aufgesetzten Halbkugel.
a) Bestimmen Sie das Fassungsvermögen des insgesamt \( 16 \mathrm{~m} \) hohen Silos in Abhängigkeit vom inneren Radius x des Zylinders.

Volumen des Zylinders:

\(V_Z=x^2•π•(16-x)\)

Volumen des Halbkugel:

\(V_H=\frac{2}{3}x^3•π\)

Siehe auch:

https://www.mathelounge.de/819275/was-hat-ein-insgesamt-hohes-getreidesilo-fassungsvermogen

Comments

kannst du mir erkklären, warum x=32 ist

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Als Lösung kommt wohl für den Radius \(r=32\) heraus. Dann wäre die Halbkugel ja schon 32m hoch. Weil nun das komplette Silo (mit Zylinder ) 16 m hoch sein soll, lässt sich hier kein Maximum bestimmen.

Answer 2

V(x) = x^2*pi*(16-x) + 2/3*x^3*pi

Berechne: V'(x) =0

Comments

Wrum ist x =32. das kann doch nicht sein

Answer 3

stelle 'mal eine Wertetabelle zusammen. Wenn der Radius 1 m beträgt, ist der Zylinder 15 m hoch, 1 m geht ja für die Halbkugel verloren; bei 2 m Radius ist der Zylinder 14 m hoch und die Halbkugel hat einen Höhe von 2 m. Maximal kann der Radius 16m betragen, dann haben wir keinen Zylinder mehr aber eine Halbkugel mit 16 Höhe. Zeig dann deine Ergebnisse.

Answer 4

a) V(x)=16πx²+\( \frac{2}{3} \) πx³.

b)

Wenn der Radius über alle Grenzen wachsen kann, kann auch das Volumen über alle Grenzen wachsen.

Comments

das war auch mein erster Gedanke. Die aufgesetzte Halbkugel und die Gesamthöhe begrenzen das aber.

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Die Zylinderhöhe ist 16-x.

Ein Getreidesilo ist \( 16 \mathrm{~m} \) hoch.

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Text erkannt:

\( \begin{array}{lll}z & \pi \cdot r^{2} \cdot(16-r) \quad r=x & 0=-\pi x+32 \pi \\ K: & \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^{3} & \pi x=+32 \pi \quad:: \pi \\ & \pi x^{2}(16-x)+\frac{2}{3} \pi x^{3} & x=32 \\ = & 16 \pi x^{2}-\pi x^{3}+\frac{2}{3} \pi x^{3} & V=17157,28 \\ & 16 \cdot \pi \cdot x^{2}-\frac{1}{3} \pi x^{3} & \\ = & -\pi x^{2}+32, \pi x & \\ = & x(-\pi x+32 \pi) & \end{array} \)

was habe ichhier falsch gemacht.

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wir addieren hier das Zylindervolumen zum Halbkugelvolumen. Zylinderhöhe und (Halb)kugelradius addieren sich zu 16 m. Rein Mathematisch wird bei Radien > 16 m ein Zylindervolumen abgezogen, dennoch steigt die Summe von Zylinder- und Halbkugelvolumen bis zu einem Radius von 32 m. In der Praxis ist der höchste Wert r=16 m, also nur eine Halbkugel ohne einen Zylinder, der sich darunter befindet.

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kannst du es mir vorrechnen, damit ich verstehe, was ich falsch gerechnet habe?

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kannst du es mir vorrechnen, damit ich verstehe, was ich falsch gerechnet habe?

Du hast richtig gerechnet:( Siehe auch meinen obigen Kommentar.)