Extrempunkte berechnen: a) f(x) =1/4 x^3 -3x b) f(x) =x^5 -15x^4

Question

es sollen die extrempunkte berechnet werden und die koordinaten und at der extrempunkte angegeben werden,kann mir jemand helfen ?

f(x) =1/4 x³ -3x

f(x) =x⁵  -15x⁴ 

Answer 1

a)

f(x) =1/4 x³ -3x

Extrempunkte höchstens dort, wo f ' ( x ) = 0, also:

f ' ( x )  = ( 3 / 4 ) x ² - 3

( 3 / 4 ) x ² - 3 = 0

<=> ( 3 / 4 ) x ² = 3

<=>  x ² = 4

<=>  x  = ± √ 4

<=> x = - 2 oder x = 2

Prüfen, ob Extrempunkt und welcher Art:

f ' ' ( x ) = ( 3 / 2 ) x

f ' ' ( - 2 ) = - 3 < 0 => Hochpunkt

f ' ' (  2 ) = 3 > 0 => Tiefpunkt.

Hier ein Schaubild des Graphen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%29x^3-3x+from-4to4

Koordinaten:

Tiefpunkt: ( 2 | -4 )

Hochpunkt: ( - 2 | 4 )

 

b)

f(x) =x⁵  -15x⁴

Extrempunkte höchstens dort, wo f ' ( x ) = 0, also:

f ' ( x )  = 5 x ⁴ - 60 x ³

5 x ⁴ - 60 x ³ = 0

<=> x ³ ( 5 x - 60 ) = 0

<=>  x ³ = 0 oder 5 x - 60 = 0 

<=>  x = 0 oder 5 x = 60

<=> x = 0 oder x = 12

Prüfen, ob Extrempunkt und welcher Art:

f ' ' ( x ) = 20 x ³ - 180 x ²

f ' ' ( 0 ) = - 180  = 0 => Keine Entscheidung, ob Extremum oder Wendepunkt (siehe weitere Untersuchung)

f ' ' (  12 ) = 8640 > 0 => Tiefpunkt.

Weitere Untersuchung an der Stelle x = 0

f ' ' ' ( x ) = 60 x ² - 360 x

f ' ' ' ( 0 ) = 0 => Immer noch keine Entscheidung, ob Extremum oder Wendepunkt.

f ⁽⁴⁾ ( x ) = 120 x - 360

f ⁽⁴⁾ ( 0 ) = 120 x - 360 = - 360 < 0

Da die erste Ableitung, die einen Wert ungleich Null ergibt, von geradzahliger Ordnung ist, nämlich von 4. Ordnung, liegt bei x = 0 ein Extremum vor und zwar wegen  f ⁽⁴⁾ ( 0 ) < 0 ein Hochpunkt

 

Hier ein Schaubild des Graphen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^5-15x^4from-6to14

Koordinaten:

Tiefpunkt: ( 12 | - 62208 )

Hochpunkt: ( 0 | 0 )

Comments

Hi JotEs,

wie kommst Du auf die zweite Ableitung?

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Hmm, in dem ich die Exponenten weggelassen habe :-)
(was natürlich ein Fehler ist)

Ich hab's in meiner Antwort korrigiert...

Danke für den Hinweis.

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müssen nicht bei der zweiten aufgabe 4 Nullstellen herauskommen,da wir doch auch den exponenten 4 haben ? und wie kommt man auf die koordinaten ?

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An der Stelle x = 0 liegt eine sogenannte "dreifache Nullstelle" vor.

f ' ( x ) = 5 x ⁴ - 60 x ³

lässt sich in Nullstellenform so schreiben:  

= 5 x ³ ( x - 12 )

= 5 ( x - 0 ) ³ ( x - 12 )

= 5 ( x - 0 )  ( x - 0 )  ( x - 0 )  ( x - 12 )

Man erkennt: Die Nullstelle x = 0 tritt 3 mal auf, hat also die Vielfachheit 3.

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also stimmt das ergebnis jetzt immernoch von b Tiefpunkt (12/-62208)  und Hochpunkt  (0/0)?

und wieso ist es jetzt falsch das 180<0 ist und somit ein Hochpunkt,aber  -360 auch kleiner als 0 ist und das stimmt dann ?

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Ja, das Ergebnis stimmt.

An der Stelle x = 0 liegt ein Hochpunkt vor ( Koordinaten ( 0 | 0 ) ) und an der Stelle x = 12 ein Tiefpunkt ( Koordianten ( 12 | - 62208 ).

Mein Fehler bei der Ableitung hatte letztendlich lediglich Auswirkungen auf die Entscheidung, ob an der Stelle x = 0 ein Extremum vorliegt oder ein Wendepunkt. Diese Entsheidung wurde durch die korrigierte Ableitung etwas komplizierter. Wie ich es in meiner korrigierten Antwort angegeben habe, hat sich aber letztendlich doch herausgestellt, dass bei x = 0 ein Hochpunkt vorliegt.

Answer 2

Hi,

f(x) = 1/4x^3-3x

f'(x) = 3/4*x^2-3

f''(x) = 3/2*x

 

f'(x) = 0 setzen:

3/4x^2-3 = 0

x₁ = -2 und x₂ = 2

Damit in die zweite Ableitung und überprüfen. Dann y-Wert bestimmen, in dem man es in die Funktion selbst einsetzt:

H(-2|4) und T(2|-4)

 

g(x) = x^5-15x^4

g'(x) = 5x^4-60x^3

g''(x) = 20x^3-180x^2

 

Genau gleiches Vorgehen:

H(0|0) und T(12|-62208)

(Achte darauf, dass der Hochpunkt mit dem Vorzeichenwechselkriterium bestimmt werden muss).

 

Grüße

Comments

ist das jetzt so richtig ,oder muss ich das wie oben so komplitziert schreiben ? kann ich nicht einfach wie hier auch schon steht die x werte einsetzen und dann kommt halt 12 und -62208 heraus ? Und  wenn man 12 in die zweite ableitung einsetzt kommt 8640 heruas und das ist größer als 0 also ist es ein Tiefpunkt,oder ?