Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von h.

Question

Aufgabe:

Sei V = Q^n×n und h: V → V , h(A) = A^⊤. Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von h. Ist h diagonalisierbar?

Problem/Ansatz:

Wie kann eine Funktion Eigenwerte haben oder diagonalisierbar sein?

Comments

Wie kann eine Funktion Eigenwerte haben

Naja so: Es exisitert ein rationales \(\lambda\) und eine Nicht-Null-Matrix A mit

$$h(A)=A^T=\lambda A$$

Answer 1

Die Frage scheint niemanden mehr zu interessieren. Deshalb nur kurz:

Schiefsymmetrische Matrizen (\(A^t=-A\)) sind ebenfalls Eigenelemente von h zum Eigenwert -1.

Jede Matrix lässt sich als Summe einer symmetrischen und eine schiefsymmetrischen Matrix darstellen. Daher ist h diagonalisierbar.

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Vielen Dank!

Answer 2

Wie im Kommentar angedeutet: Einziger Eigenwert ist 1

und alle symmetrischen Matrizen sind Eigenvektoren.

Aber da es keine Basis nur aus symmetrischen Matrizen gibt,

ist h nicht diagonalisierbar.

Comments

Wie im Kommentar angedeutet: Einziger Eigenwert ist 1

Inwiefern deutet der Kommentar das an?

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Vielen Dank!