Anwendungen der Differentialrechnung wie lauten die Summanden

Question

Aufgabe:

Die Zahl 56 soll so in zwei Summanden zerlegt werden, dass das Produkt der Summanden maximal ist. Wie lauten die beiden Summanden?

Die Zahl α soll so in zwei Summanden zerlegt werden, dass die Summe der Quadrate der Summanden minimal ist. Wie lauten die beiden Summanden?

Problem/Ansatz:

Wir besprechen diese Übung im Matheunterricht im Bezug auf „Anwendungen der Differentialrechnung“. Die Antworten auf die obengestellten Fragen sind logisch (28mal28), aber wie lautet die Gleichung/Formel dazu? Wie komme ich von der Fragestellung auf eine Funktion?

Answer 1

Nebenbed.: x+y=56 oder y=56-x

Hauptbed.: f(x)=x·y Nebenbed. eingesetzt: f(x)=x(56-x)

Nullstelle von f '(x) ist ein Summand der Lösung.

Comments

Ableiten ist nicht unbedingt nötig:

\(f(x)=x\cdot(56-x)\)

\(x\cdot(56-x)=0\)

Die Nullstellen sind

\(x_1=0\)

\(x_2=56\)

Die Scheitelstelle einer Parabel 2. Grades liegt immer "in der Mitte der beiden Nullstellen"

\(x_S=\frac{0+56}{2}=28\)

\(f(28)=28\cdot(56-28)=28^2\)

Answer 2

1. x+y= 56

y= 56-x

x*y -> max.

f(x) =x(56-x) = 56x-x^2

f '(x) = 0

-2x+56 = 0

x= 28, y= 28

2.

a = x+y

y= a-x

x^2+y^2 -> min.

fa(x) = x^2+(a-x)^2 = x^2+a^2-2ax+x^2 = 2x^2-2ax+a^2

fa'(x) = 4x-2a = 0

x= 0,5a

y= 0,5a

Answer 3

Die Zahl \(a\) soll so in zwei Summanden zerlegt werden, dass die Summe der Quadrate der Summanden minimal ist. Wie lauten die beiden Summanden?

Zielfunktion ( Hauptbedingung):

Summe der Quadrate der Summanden minimal:   \(f(x,y)=x^2+y^2\)

Nebenbedingung:

\(a\) in zwei Summanden:   \(a=x+y\)      → \(y=a-x\)

\(f(x)=x^2+(a-x)^{2}=2x^2+a^2-2ax\)

\(f'(x)=4x-2a\)

\(4x-2a=0\)

\(x=0,5a\)     \(y=a-0,5a=0,5a\)

\(f(0,5a ; 0,5a)=0,25a^2+0,25a^2=0,5a^2\)