Anwendungen der Differentialrechnung. Polynom 3. Grades mit Tiefpunkt P(1|-2)...?

Question

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem tiefpunkt P(1/-2), deren Wendepunkt im Koordinatenursprung liegt

Answer 1

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem
tiefpunkt P(1/-2), deren Wendepunkt im Koordinatenursprung liegt

f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
f ( 0 ) = 0   => d = 0

f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c*x
f ( 1 ) = -2
f ´( 1 ) = 0
f ´´ ( 0 ) = 0

Geht gleich weiter.

Comments

f(x) = x^3 - 3·x

Man kann es " zu  Fuß " durch das Aufstellen eines Linearen
Gleichungssystems berechnen.

f ( x ) = a*x³ + b*x² + c*x
f ´( x ) = 3*a*x^2 + 2*b * x + c
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2*b

f ( 1 ) = a*1^3 + b * 1^2 + c * 1 = -2
f ´( 1 ) = 3 * a * 1^2 + 2 * b * 1 + c = 0
f ´´ ( 0 ) = 6 * a * 0 + 2 * b = 0  => b = 0

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

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Kannst du bitte kurz erläutern was du gemacht hast

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Ich habe die Ableitungen gebildet und dann die bekannten Aussagen
eingesetzt

f ( 1 ) = -2
f ( 1 ) = a*1³ + b * 1² + c * 1 = -2
f ( 1 ) = a + b + c = -2
f ´( 1 ) = 3 * a  + 2 * b  + c = 0
f ´´ ( 0 ) = 6 * a * 0 + 2 * b = 0  => b = 0

f ( 1 ) = a + c = -2
f ´( 1 ) = 3 * a  + c = 0

a + c = -2
3 * a  + c = 0
c = -3 * a

a + (- 3 * a ) = -2
-2 * a = -2
a = 1

a + c = -2
1 + c = -2
c = -3

f ( x ) = x³ - 3·x

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Der Graph einer ganzrationale Funktion dritten Grades hat im Ursprung und im Punkt P (2/4)jeweils ein extremum

Verstehe das auch nicht

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Der Graph einer ganzrationale Funktion dritten Grades hat im Ursprung
und im Punkt P (2/4)jeweils ein extremum 

Verstehe das auch nicht

Aussagen
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ( 0 ) = 0
f ´( 0 ) = 0
f ( 2 ) = 4
f ´ ( 2 ) = 0

Frag ruhig weiter. Du sollst nicht unwissend sterben.

mfg Georg

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f(x) = -x^3 + 3·x^2

~plot~ -x^3 + 3 * x^2 ~plot~

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Und noch der Graph zur Ausgangsfrage

~plot~ x^3 - 3 * x ~plot~