Bestimme Funktion 4. Grades mit Wendepunkt und Tiefpunkt (sqrt3 I 1)

Question

Die Aufgabe lautet:

Welche ganzrationale Funktion 4. Grades hat einen Graphen, der symmetrisch zur y-Achse ist und durch den Wendepunkt W(1|0) und den Tiefpunkt T(\( \sqrt{3} \) | -1) verläuft?

Habe folgende Bedingungen aufgestellt:

f(x)=ax⁴+bx²+c

f(\( \sqrt{3} \) )= -1

f'(\( \sqrt{3} \) )= 0

f''(1)= 0

Nun habe ich diese in den Ableitungen eingesetzt und ein Gleichungssystem gebildet - komme aber wegen der Wurzel nicht voran beim Ausrechnen der Variablen. Habe ich bei den Bedingungen was falsch gemacht? Ich bitte um Hilfe.

Comments

4a*(√3)^3+2b*√3 =0 |: √3

12a+2b= 0

b= -6a

Es gilt: (√3)^3 = 3*√3

Answer 1

(√3)⁴=9; (√3)³=3·√3  (√3)²=3  (√3)¹=√3

Zweite Gleichung durch √3 teilen.

Wo ist jetzt das Problem?

Answer 2

Welche ganzrationale Funktion 4. Grades hat einen Graphen, der symmetrisch zur y-Achse ist und durch den Wendepunkt \(W_1(1|0)\) und den Tiefpunkt \(T_1(\sqrt{3}| -1) \)verläuft?

Ich verschiebe den Graph um \(1\) Einheit nach oben . Nun liegen die beiden Tiefpunkte auf der x-Achse. Es handelt sich hier um doppelte Nullstellen, (bei Einfachnullstellen wird die x-Achse geschnitten)

\(T_1(\sqrt{3}| -1) \)→\(T´_1(\sqrt{3}|0) \)

Durch die Symmetrie gilt nun auch \(T_2(-\sqrt{3}| -1) \)→\(T´_2(-\sqrt{3}| 0) \)

Weiter mit der Nullstellenform der ganzrationalen Funktion 4. Grades:

\(f(x)=a(x-\sqrt{3})^2(x+\sqrt{3})^2\\=a[(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})]^2\\=a[x^2-3]^2\)

Wendepunkt \(W_1(1|0)\)→\(W´_1(1|1)\) liegt auf dem Graphen von\(f\)

\(f(1)=a[1^2-3]^2=4a=1\)

\(a=\frac{1}{4}\)

\(f(x)=\frac{1}{4}[x^2-3]^2\)

Nun muss der Graph von \(f\) um \(1\) Einheit nach unten verschoben werden und einen neuen Namen erhalten:

\(p(x)=\frac{1}{4}[x^2-3]^2-1\)

Answer 3

Funktionsansatz
f(x) = a·x^4 + b·x^2 + c
f'(x) = 4·a·x^3 + 2·b·x
f''(x) = 12·a·x^2 + 2·b

Bedingungen
f(1) = 0
f''(1) = 0
f(√3) = -1
f'(√3) = 0

Gleichungen
a + b + c = 0
12·a + 2·b = 0
9·a + 3·b + c = -1
12·√3·a + 2·√3·b = 0 → 12·a + 2·b = 0

Lösung des Gleichungssystems
a = 0.25 ∧ b = -1.5 ∧ c = 1.25

Daraus resultierende Funktion
f(x) = 0.25·x^4 - 1.5·x^2 + 1.25