Rekonstruktionen von Funktionen: Symmetrisches Polynom 4. Grades.

Question

hiiii :)
wir haben heute ein neues Thema angefangen... das Thema "Rekonstruktionen von Funktionen". Wir haben dazu einige Aufgaben bekommen, wo ich auch ganz gut klar kam... aber bei der Aufgabe 5 hänge ich irgendwie... vielleicht hat ja jemand eine idee... wäre sehr dankbar...

"Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion f mit den beschriebenen Eigenschaften. Der zur y-Achse symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades geht durch P (0|2) und hat bei x = 2 ein Extremum. Er berührt dort die x- Achse."

Wäre sehr sehr dankbar ...

Comments

Gegeben ist ja die Bedingung dass f(x)=ax^4+cx^2+e                                                         f(0)=2 Daraus folgt ja, dass e=2.Zudem ist f'(2)=0
Wie kann ich a und c bestimmen?

Answer 1

 

"Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion f mit den beschriebenen Eigenschaften. Der zur y-Achse symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades geht durch P (0|2) und hat bei x = 2 ein Extremum. Er berührt dort die x- Achse."

 

Zur y-Achse symmetrisch, 4. Grad:

f(x) = ax⁴ + bx² + c

 

Geht durch P(0|2)

f(0) = a*0⁴ + b*0² + c = 2 | c = 2

 

Hat bei x = 2 ein Extremum

f'(x) = 4ax³ + 2bx

f'(2) = 32a + 4b = 0

Der Graph berührt bei x = 2 die x-Achse, also

f(2) = 16a + 4b + c = 0

 

a = 0,125

b = -1

c = 2

 

Die Funktion lautet also:

f(x) = 0,125x⁴ - x² + 2

 

Besten Gruß

Comments

oh cool dane :) direkt mal angucken und übelregen wie du drauf kamst

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Gerne!

Bei Rückfragen einfach nochmal einen Kommentar abgeben :-)

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ja eine Frage hätte ich...
f'(2) = 32a + 4b = 0

Der Graph berührt bei x = 2 die x-Achse, also

f(2) = 16a + 4b + c = 0


das is mir klar, deine Rechnung... aber wie kommst du dann auf a und b?

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Bis zum Aufstellen dieser beiden Gleichungen ist alles klar?

Dann haben wir also, da c = 2 ist:

I. 32a + 4b = 0

II. 16a + 4b = -2

Ich rechne so etwas immer mit der Mathe-App meines Handys, aber hier ist es ja einfach :-)

Wir subtrahieren die 2. Gleichung von der ersten und erhalten:

16a = 2

a = 2/16 = 0,125

Das eingesetzt zum Beispiel in II.

16 * 0,125 + 4b = -2

2 + 4b = -2

4b = -4

b = -1

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Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh jetzt verstehe ich! gut danke! an euch beiden!

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Klasse!!

Haben wir sehr gerne gemacht :-D

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Wie kommst du denn auf die 16a+4b = -2 ?

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Dadurch:


Der Graph berührt bei x = 2 die x-Achse, also

f(2) = 16a + 4b + c = 0

Da wir schon herausgefunden hatten, dass c = 2 ist, kann man dies auch schreiben als

16a + 4b + 2 = 0

Auf beiden Seiten 2 subtrahieren ergibt

16a + 4b = -2


Einverstanden?

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Keine Ursache - sehr gern geschehen :-)

Answer 2

ganzrationalen Funktion vierten Grades geht durch P (0|2) und hat bei x = 2 ein Extremum. Er berührt dort die x- Achse."

x=2 muss doppelte Nullstelle sein. Aus Symmetriegründen muss auch x=-2 eine doppelte Nullstelle sein.

Mein Ansatz deshalb:

y = a(x-2)^2 *(x + 2)^2

Damit die Kurve durch P(0|2) geht:

2 = a(-2)^2 * 2^2

2 = a * 16

a = 1/8

Daher

y = 1/8 (x-2)^2 * (x+2)^2

Wenn du willst, kannst du das noch anders schreiben (ausmultiplizieren)

vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+1%2F8+%28x-2%29%5E2+*+%28x%2B2%29%5E2

Comments

Bitte. Gern! Ich löse nicht so gern Gleichungssysteme auf ;)

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@Lu:

Tolle Herangehensweise -> Däumchen von mir :-)

Answer 3

"Er berührt dort die x-Achse" bedeutet, dass f(x) = a(x-2)^2*(ux^2 + vx + w) .

Aus Symmetriegründen weisst du sogar: f(x) = a(x-2)^2 (x+2)^2  .

Wegen P(0|2) kannst du dann noch a berechnen.

Comments

Aus "Er berührt dort (d.h. bei \(x=2\)) die x-Achse"

würde ich \(f'(2)=0\) und \(f(2)=0\) folgern...

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ja genau das ist die lösung:

f'(2) = f(2)

$$32a\quad +\quad 4c\quad =\quad 16a\quad +\quad 4c\quad +\quad 2$$

a = 1/8 , c= -1

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@az0815: Doppelte Nullstellen erfüllen die Bedingung auch und aus Symmetriegründen hat man mit (x+2)^2 (x-2)^2 bereits Grad 4.

Daher habe ich in meiner Antwort nur einen Parameter zu berechnen.

Ableitungen sind auch erlaubt - aber nicht nötig.

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'eine lösung' sorry

du hast ja dann 2=16a dasselbe

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sehr interessant muss man sich das selbst erschließen oder kann man das irgendwo nachlesen?

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"du hast ja dann 2=16a dasselbe" . Hoffentlich auch. Es wäre eine komische Methode, wenn das nicht so wäre :)

Das hängt mit ungeraden und geraden Potenzen zusammen. Erinnere dich an die verschobenen Parabeln in der 9./10. Klasse Bsp. y = (x-2)^2 und y= -(x-2)^2

Du kannst das mit Hilfe von Ableitungen aber auch problemlos selber beweisen.

Ansatz: f(x) = a(x-b)^2 * p(x)     , a,b Element R, p(x) ein Polynom, das bei x=b keine Nullstelle hat.

Benutze die Produktregel und klammere dann (x-b) aus. So hast du sofort eine einfache Nullstelle von f ' (x) .

Achtung: Ausmultiplizieren führt zu einer unendlichen Rechnerei.

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Lu: @az0815 (...)

Ich hatte nur die erste Zeile gelesen, die zweite macht es klar!