Mathematisch korrekt das Grenzwertverhalten berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie mathematisch korrekt das Grenzwertverhalten von lim -> 0+ und lim -> ∞ für die Funktion

$$f(x) = \frac{1}{5x^3(e^{-x^2}-1)} $$

Problem/Ansatz:

Für unendlich habe ich das ganze jetzt so berechnet:

$$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{1}{5x^3(e^{-x^2}-1)} = \frac{1}{5x^3e^{-x^2 }-5x^3}=\frac{1}{5x^3\frac{1}{e^{x^2 }}-5x^3}=\frac{1}{5(\infin)^3*0-5(\infin)^3}=\frac{1}{-\infin}=0$$

Bei lim -> 0+ habe ich jedoch Probleme:

$$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{5x^3\frac{1}{e^{x^2 }}-5x^3}=\frac{1}{5(0^+)^3*1-5(0^+)^3}=?$$

Ich weiß, dass es gegen -∞ läuft, aber warum?

Answer 1

Im Nenner geht der erste Term schneller gegen 0 als der zweite. Deswegen ist die Differenz negativ.

Ich würde deine Vorgehensweise allerdings nicht als "mathematisch korrekt" interpretieren.

Comments

Liegt das daran, dass der erste Term im Nenner aufgrund von e^x minimal kleiner ist?

Wie müsste ich das ganze denn aufschreiben, damit es mathematisch korrekt wird?

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Wie müsste ich das ganze denn aufschreiben, damit es mathematisch korrekt wird?

Ich schätze mal, L'Hospital?

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Achso, daran hatte ich auch schon gedacht, war mir aber nicht sicher, ob es sich hierbei um einen unbestimmten Ausdruck handelt, wo man das ganze anwenden kann (und soll). Der Zähler läuft doch immer gegen eins?

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Du kannst die Funktion f(x) wahlweise als $$f(x) = \frac{x^{-3}}{5(e^{-x^2}-1)} $$

oder als $$f(x) = \frac{\frac{1}{(e^{-x^2}-1)}}{5x^3} $$ schreiben.

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Ohhh, das bedeutet also, dass auch falls die Funktion nicht direkt in einem unbestimmten Ausdruck vorliegt, ich mir diese (solange es mathematisch richtig ist) so zurecht legen kann, dass ich L'Hospital anwenden kann?

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falls die Funktion nicht direkt in einer unbestimmten Form vorliegt,

0*∞ im Nenner ist auch schon unbestimmt

ich mir diese (solange es mathematisch richtig ist) so zurecht legen kann, dass ich L'Hospital anwenden kann?

Ja, das kann man im Fall 0*∞ machen.