Rang einer Matrix mit beliebigen reellen Zahlen

Question

Aufgabe:

Es seien a1, a2, a3, b1, b2, b3 ∈ R beliebige reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass die Matrix

[a1 + b1  a1 + b2  a1 + b3
a2 + b1  a2 + b2  a2 + b3
a3 + b1  a3 + b2  a3 + b3]
höchstens Rang 2 hat

Problem/Ansatz:

Comments

Ok, das war zu flüchtig.

Wir subtrahieren die erste Spalte von den anderen:
[a1 + b1  b2-b1   b3-b1
a2 + b1   b2-b1   b3-b1
a3 + b1   b2-b1   b3-b1]

Nun ist eine der b-Spalten Vielfaches der der anderen.

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Aber wo sind dann die restrlichen a's hingekommen? Könntest du mir das bitte genauer erklären?

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Ahhh habs verstanden, aber wie ist dann die Begründung für Rang 2

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Die dritte Spalte wird zu Null, wenn man das entsprechende Vielfache der zweiten subtrahiert.

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Also kann man auch spaltenweise eleminieren anstatt zeilenweise

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Ich würde es nicht Elimination nennen, besser: elementare Spaltenoperationen.

Im Übrigen korrigiere ich mich und behaupte das Gegenteil: Der Rang kann durchaus gleich 3 sein.

Das folgende Skript

import numpy as np
a1,a2,a3,b1,b2,b3 = 1,2,-3,-4,5,6
a = np.array([
[a1 + b1, a1 + b2, a1 + b3],
[a2 + b1, a2 + b2, a2 + b3],
[a3 + b1, a3 + b2, a3 + b3]])   
print(a)
b = mat.rref(a)
print(b)

liefert die Ausgabe

[[-3  6  7]
[-2  7  8]
[-7  2  3]]

[[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]]

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Der Rang kann durchaus gleich 3 sein.

Deine Matrix \(\small\begin{pmatrix}-3&6&7\\-2&7&8\\-7&2&3\end{pmatrix}\) hat jedenfalls nicht den Rang 3.

Answer 1

Bist du schon mal auf die Idee gekommen, die Determinante zu bilden?

Comments

Die Matrix ist nicht quadratisch, also kann man keine Determinante bilden.

Zeilen- und Spaltenoperationen ändern den Rang nicht. Wie haben 3 gleiche Spalten, da können wir etliche Nullen erzeugen. Die b-Spalten sind entweder Null oder zwei sind Vielfache der dritten, auch hier können wir Nullen erzeugen. Was bleibt übrig?

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Bei der Matrix handelt es sich um eine 3x3-Matrix. Sie ist also quadratisch.

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Ja schon klar dass die Determinante funktioniert, aber wie ist da das Vorgehen? Es sollte bestimmt etwas wegfallen oder so

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Wenn du die Determinante ausrechnen mögest, dann ist nach Ausmultiplizieren jeder der sechs Summanden einfach nur \(a_1b_1+a_1b_2+a_1b_3+a_2b_1+a_2b_2+a_2b_3+a_3b_1+a_3b_2+a_3b_3\). Drei davon haben vorne das Vorzeichen "+", drei das Vorzeichen "-", insgesamt ist deine Determinante damit \(0\), die Matrix kann also nicht vollen Rang haben.

Answer 2

Deine Matrix \(M\) lässt sich zerlegen in \(M=A+B\) mit:

\(A=\begin{pmatrix}a_1&a_1&a_1\\ a_2&a_2&a_2\\ a_3&a_3&a_3\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}b_1&b_2&b_3\\ b_1&b_2&b_3\\ b_1&b_2&b_3 \end{pmatrix}\).

Es gilt offensichtlich \(\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(B)=1\).

Durch Subadditivität der Rangfunktion gilt \(\mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}(A+B)\leq \mathrm{rg}(A)+\mathrm{rg}(B)=2\).

Wer hier rechnet, macht sich unnötige Arbeit.