Berechnung der y-Koordinate in Abhängigkeit von k

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar f_k mit
f_k(x) = x ⋅ ln x – k ⋅ x, k ∈ R

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(x₀ |0), B(x₀ + 3|0) und C(x₀ + 3|y); x₀ bezeichnet die
Nullstelle von f_k. C ist auch der Schnittpunkt der Tangente durch A mit der Strecke BC.
Daraus ergibt sich die y-Koordinate von C. Diskutieren Sie die Abhängigkeit der Dreiecksfläche von k.

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe stammt aus einer Ansammlung an Übungsaufgaben. Die Nullstelle hatte ich zuvor schon bei e^k berechnet. Die eigentliche Lösung, dass die Fläche unabhängig von k konstant bleibt ist mir auch schon bekannt.

Ich hatte lediglich einen Ansatz, der so nicht in den Lösungen aufgeführt war:

AB hat eine konstante länge 3. Für die Fläche brauch ich also eigentlich nur f_k(e^k + 3). Ist es möglich das ganze so zu berechnen?

f_k(e^k + 3) = (e^k + 3) ⋅ ln(e^k + 3) - k ⋅ (e^k + 3)

Comments

Es gibt 2 Nullstellen
x(lnx-k) = 0

x=0 v x=e^k

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vgl:

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+x*lnx-kx%2C+where+k%3D1%2C1.5%2C2%2C3%2C+10

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Es gibt 2 Nullstellen

Das ist falsch. x=0 ist aus naheliegenden Gründen keine Nullstelle.

Deinen wolframalpha-Plot kannst du in die Tonne treten.

Answer 1

Nein, das geht so nicht. C hat als y-Koordinaten NICHT den Funktionswert an der Stelle x_0+3.

C erhältst du, wenn du die Tangente am Funktionsgrafen im Punkt A mit der Gerade x= x_0+3  schneidest.

Die Aufgabenformulierung

C ist auch der Schnittpunkt der Tangente durch A mit der Strecke BC.

ist äußerst irreführend. Man kann C nicht über einen bis dahin noch nicht vorhandenen Punkt C definieren.

Comments

Das erklärt meine Verwirrung, vielen Dank.

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Man kann C nicht über einen bis dahin noch nicht vorhandenen Punkt C definieren.

Offenbar geht es ja doch, da durch die gemachten Angaben C = (e^k+3 | 3) eindeutig festgelegt ist.
Das ist doch wie beim Zahlenrätsel "Wenn ich zu meiner Zahl 5 addiere, dann erhalte ich das Dreifache meiner Zahl".

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Wie genau würde ich denn f_k(e^k + 3) dann auflösen, wenn es doch möglich ist?

Answer 2

Hallo

jaa du hast natürlich f(e^k+3) richtig ausgerechnet .

die Beschreibung von C allerdings verstehe ich nicht, einerseits liegt C auf dem Funktionsgraphen , andererseits auf der Tangente?

Gruß lul

Answer 3

Nullstellen

x = e^k (∨ x = 0)

A(e^k | 0)

Tangente durch A

t(x) = f'(e^k)·(x - e^k) = x - e^k

Dreiecksfläche

A = 1/2·g·h = 1/2·3·t(e^k + 3) = 1/2·3·(e^k + 3 - e^k) = 9/2 = 4.5 FEx

Comments

lnx ist für x=0 nicht definiert. Ich hab das auch übersehen beim Ausklammern.

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Weil x = 0 KEINE Nullstelle ist, habe ich das in Klammern geschrieben.

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Achso, verstehe.

Wenn ich mir aber Funktionen bei wolfram plotten lassen, ist x=0 anscheinend Nullstelle.

Wie ist das zu erklären?

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+x*lnx-kx%2C+where+k%3D1%2C1.5%2C2%2C3%2C+10

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Beachte, dass du die Skizze von Wolframalpha in die Tonne werfen kannst. Für x < 0 ist der LN(x) auch kein reeller Funktionswert.

Auch das ist auf der Skizze sehr trügerisch.

Weil Wolframalpha zwei Skizzen macht. Eine für den reellen Anteil und einen für den imaginären Anteil.

Hier eine etwas schönere Skizze