Exponentialfunktion die Formel

Question

Zuerst war die Exponentialfunktion f(x)=a•b^x, und jetzt N(t)= e^{Wachstums-/Abnahmekonstante •t} Kann mir jemand erklären wo a und b hingegangen sind und wieso es jetzt e ist? Und wozu braucht man die Konstante?

Answer 1

Laut Definition des Logarithmus ist

        \(\log_a\left(a^b\right)=b\).

Also ist auch

        \(a^{\log_a\left(a^b\right)} = a^b\).

Ersetzen von \(a^b\) durch \(c\) liefert

(1)        \(a^{\log_ac} = c\).

Laut Potenzgesetzen ist

(2)        \(\left(a^m\right) = a^{m\cdot n}\).

Mit diesen zwei Regeln kann man nun folgende Umformungen durchführen:

        \(b^{x}\stackrel{\text{(1)}}{=}\left(\mathrm{e}^{\ln b}\right)^{x}\stackrel{\text{(2)}}{=}\mathrm{e}^{x\cdot\ln b}\).

\(f(x)=a\cdot b^{x}\), und jetzt \(N(t)= e^{\text{Wachstums-/Abnahmekonstante} \cdot t }\)

Den Faktor \(a\) brauchst du auch in der Funktion \(N(t)\).

Genauer gesagt, für alle reellen Zahlen \(a,x\) und jedes \(b>0\) ist

        \(a\cdot b^x = a\cdot \mathrm{e}^{x\cdot \ln b}\).

Die Wachstums-/Abnahmekonstante ist \(\ln b\), also der natürliche Logarithmus von \(b\).

wieso es jetzt e ist?

Weil man will.

Mathematische Regeln sagen dir nicht, was du machen musst, sondern was du machen darfst.

Answer 2

Es gilt:

a*b^x = a*e^(lnb*x)

lnb = Wachstums-/ Abnahmekonstante

a= N(0)

f(t) = a*b^t = N(0)*e^(lnb*t)

a= N(0) = Anfangsbestand

In der Wissenschaft wird oft mit der Wachstumskonstante statt dem Wachstumsfaktor gearbeitet.

Der Faktor ist anschaulicher, weil man den Prozentsatz ablesen kann:

1,05^t = Wachstum 1,05-1 = 0,05 = 5% nach jeder Zeiteinheit.

0,95^t = Abnahme um 5%

Answer 3

In der e-Funktion hast du den Anfangsbestand vergessen. Wir schreiben also für Exponentieralfunktionen meist:

f(x) = a·b^x

f(x) = a·e^{k·x}

a ist jeweils der Anfangsbestand. b ist der Wachstumsfaktor und k ist die Wachstumskonstante. Um diese ineinander Umzurechnen nutzt man die Kenntnis

Dabei gilt jetzt

f(x) = a·e^{k·x} = a·(e^k)^x = a·b^x

und damit

b = e^k oder k = ln(b)

Max legt auf seinem Konto, 1000 Euro zu 2.5% Zinsen an. Notiere eine Funktion, die den Geldbestand f(x) nach x Jahren beschreibt.

f(x) = 1000·1.025^x

oder mit k = ln(1.025) ≈ 0.02469

f(x) ≈ 1000·e^{0.02469·x}

Die e-Funktion ist aus dem Grund empfehlenswert, weil die Ableitung davon recht einfach zu bilden ist. Sie lautet unter Verwendung der Kettenregel

f(x) = a·e^{k·x}
f'(x) = a·k·e^{k·x}