Wahrscheinlichkeit einen Pasch würfeln binomial

Question

Aufgabe: Zwei Würfel

Bei einem Spiel werden in jeder Spielrunde zwei Würfel geworfen. Zeigen nach einem Wurf beide Würfel die gleiche Augenzahl, spricht man von einem Pasch. Die Wahrscheinlichkeit, einen Pasch zu werdfen, beträgt 1/6.

Es werden acht Runden gespielt. Die Zufallsvariable X bzeichnet dabei die Anzahl der geworfenen Psche.

Berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass die Anzahl X der geworfenen Pasche unter dem Erwartungswert E (X) liegt.

Mein Ansatz:
n = 8
p = 1/6

E(X) = 8*1/6
E(X) = 2      => gerundet, da man ja nur ganze Würfe machen kann

P(X<2) = Binomialkoeffizient(n,k) * p^k * (1 - p)^(n-k)
P(1)= 8 * 1/6^1 * (1-1/6)^(8-1)

Bei der Lösung seht aber folgendes:
P(x≤4/3) = P(X≤1) = (5/6)^8 + 8 * (1/6) * (5/6)^7
Mir ist nicht klar wie P (X≤1) und (5/6)^8 zustandekommt.
Könnte mir das bitte jemand erklären?
Danke im Voraus!

Comments

E(X) = 2      => gerundet, da man ja nur ganze ...

Der Erwartungswert der Kinder pro Frau ist etwa 2,3 weltweit.

Auch wenn nur ganze Kinder auf die Welt kommen können.

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Aha!

Mir ist aber immer noch folgendes nicht klar:

Wie kommt (5/6)^8 bei der Lösung zustande, denn wenn ich in die Formel einsetze, würde ich das ja nicht bekommen, oder?

Lösung:
P(x≤4/3) = P(X≤1) = (5/6)^8 + 8 * (1/6) * (5/6)7

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Wenn Du n = 8 und p = 1/6 und k = 0 einsetzt in

\(\displaystyle P(x=0)= \binom{8}{k} \left(\frac{1}{6}\right)^{k}\left(1-\frac{1}{6}\right)^{8-k} \)

dann lautet das Ergebnis (5/6)^8

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Herzlichen Dank! Jetzt verstehe ich es!

Answer 1

E(X) = 8*1/6
E(X) = 2      => gerundet, da man ja nur ganze Würfe machen kann.

Du verfälschst also mutwillig ein richtiges Ergebnis.

Der Erwartungswert IST 8/6 !

und unter 8/6 liegen die Werte 1 und 0.

Die Wahrscheinlichkeit, in 8 Versuchen NIE einen Pasch zu bekommen, ist (5/6)^8.

Die Wahrscheinlichkeit, in 8 Versuchen genau einmal einen Pasch zu bekommen, ist 8*(1/6)*(5/6)^7.

(Der Faktor 8 ergibt sich daraus, dass es 8 verschiedene Pfade gibt, in denen 1 Pasch und 7 "Nicht-Paschs" vorkommen.)

Comments

Aha!

Mir ist aber immer noch folgendes nicht klar:

Wie kommt (5/6)^8 bei der Lösung zustande, denn wenn ich in die Formel einsetze würde ich das ja nicht bekommen, oder?

Lösung:
P(x≤4/3) = P(X≤1) = (5/6)^8 + 8 * (1/6) * (5/6)^7

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Wie kommt (5/6)8 bei der Lösung zustande,

Das ist EIN Pfad im Baumdiagramm, in den 8 mal der Faktor (5/6) steht.

Answer 2

EW = 2

Gesucht ist: höchstens 1 Pasch = kein Pasch oder 1 Pasch


P(X<=1) = P(X=0) +P(X=1)

= (5/6)^8 + (8über1)*(1/6)^1*(5/6)^7

5/6  ist die GegenWKT (keine Pasch/ nicht-Pasch)