Funktion für Wahrscheinlichkeit von Pasch bei mehreren Würfeln von X Seiten

Question

Hallo liebe hilfsbereite!

ich suche nach einer funktion die beschreiben kann, wie wahrscheinlich es ist bei n würfeln mit x augen 2, 3, 4 oder mehrfach das gleiche ergebnis zu erzielen.

die frage zielt darauf ab, genauer vorherbestimmen zu können wie wahrscheinlich ein yazee ist (mit 5 würfeln 5 gleiche), oder aber auch in anderen konstellationen paare und drillinge zu produzieren ( 3 gleiche bei 8 würfeln mit je 10 seiten?)

die Grundformel für einen pasch (alle würfel die gleiche augenzahl) ist (1/x)^n-1. diese hilft allerdings nur, wenn auch alle würfel das gleiche zeigen sollen. ich bin mir nicht sicher, wie man einen wert Y einbauen kann, der beschreibt, wieviele würfel das gleiche ergebnis zeigen.

Vielen dank schonmal im voraus!

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ich bin mir nicht sicher, wie man einen wert Y einbauen kann, der beschreibt, wieviele würfel das gleiche ergebnis zeigen.

Wie meinst du das genau?

Answer 1

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 Würfen mind. k mal die 6 auftritt ist gemäß Binomialverteilung.

P(X > k) = ∑ (x = k bis 10) ((10 über x)·(1/6)^x·(5/6)^{10 - x})

Hier gibt es keine sehr schöne einfache Formel.

Natürlich könnte man hier auch die 10 durch n erstetzen und auch die Wahrscheinlichkeiten an einen Würfel mit 10 Seiten anpassen. Trotzdem wird das nie eine schöne einfache Formel werden.

Wenn man die Regel von Moivre und Laplace mal ignoriert kann man ganz grob diese Wahrscheinnlichkeit auch mit der Normalverteilung nähern.

Die Frage ist wofür das jetzt nötig ist. Bei yazee hat man ja zudem noch mehrere Versuche. D.h. man kann Würfel rauslegen und mit den Restlichen nochmals würfeln.

Answer 2

Die Wahrscheinlichkeit für \(x\)-Augenzahlen bleibt nicht immer \(\frac{1}{6}\), sondern eher \(\frac{1}{x}\). (vgl. Mathecoach)!

Ich würde es formal so aufschreiben:$$P(X≥k)=\sum_{k}^{n}{}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot \left(\frac{1}{x}\right)^k\cdot \left(1-\frac{1}{x}\right)^{n-k}$$ Hierbei stehen \(k\) für die Anzahl der gleichen Würfelergebnisse, das \(x\) für die Anzahl der Augenzahlen des Würfels. Ferner steht das \(n\) für die Anzahl der Würfel.

Vorausgesetzt ist eine konstant bleibende Wahrscheinlichkeit: d. h. alle Würfel müssen gleichzeitig geworfen werden, um die Wahrscheinlichkeit nicht zu verändern.

Außerdem müssen alle Würfel die gleiche Augenzahlen besitzen. Es kann nicht ein sechsseitiger und ein zwölfseitiger Würfel gleichzeitig geworfen werden!

3 gleiche bei 8 würfeln mit je 10 seiten?

Setzen wir hierfür mal in die Formel ein:

Es wird also nach genau 3 gleichen gesucht. Die Wahrscheinlichkeit, dass es 3 (mehr/weniger) sind ist übrigens höher! Aber na gut, wenn es genau 3 gleiche sein sollen, dann wie folgt:$$P(X=3)=\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot \left(\frac{1}{10}\right)^3\cdot \left(1-\frac{1}{10}\right)^{8-3}$$$$P(X=3)≈ 0.033067≈ 3.31\%$$

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Danke, das ist ziemlich genau was ich suche!

tatsächlich wäre es vielleicht nicht schlecht, eine formel zu haben für "k oder mehr" gleiche, und die von mathecoach angesprochenen zurücklegen und neuwürfeln mechanik wäre auch nicht verkehrt zu haben. allerdings hatte ich mir schon gedacht, das zumindest letzteres absolutes chaos verursachen würde, schließlich müsste die formel ja zumindest über rudimentäre KI verfügen, um festzustellen was man neu würfeln sollte.

das hilft mir auf jeden fall schonmal enorm weiter, vielen dank dafür!

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ich hab deine formel jetzt mal angewendet, und komme leider nicht zu einem benutzbaren ergebnis, muss ich leider gestehen.... auch beim drüber nachdenken wirkt dein beispiel leider etwas fehlerhaft. bei 8w10 (also 8 zehn-seitigen würfeln) müsste die wahrscheinlichkeit für 3 gleiche deutlich höher sein. laut deiner formel ist die wahrscheinlichkeit für 2 gleiche bei 11w10 bei 55%. dabei müsste sie bei 11w10 über 100% liegen. die 100% werden laut deiner formel erst bei 15w10 überschritten. und bei 2wx ist die wahrscheinlichkeit auf einen pasch laut deiner formel grundsätzlich null, dabei müsste es natürlich 1/x sein... oder liegt der fehler etwa bei mir? es wäre nett, wenn du deine formel noch einmal prüfen könntest, und mir sagen, ob du tatsächlich einen fehler gemacht hast, oder ob ich einfach nicht richtig tippen kann.... was gut sein könnte.

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Kannst du bitte nicht alles in einen Text packen, es ist schwer schwer das zu verstehen. Was willst du berechenen?

Bitte konkrete Beispiele und fragen, warum etwas rauskommt.

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ich möchte eine tabelle erstellen, in der ich sehen kann wie die wahrscheinlichkeiten sind das man mit 2, 3, 4 oder mehr würfeln eben wieviele gleiche werfen kann. die augenzahl an sich spielt dabei keine rolle, nur, wieviele würfel die gleiche augenzahl haben.

ein konkretes beispiel wäre eben, wenn ich 8 würfel mit je 10 seiten werfe, wie hoch ist die wahrscheinlichkeit darauf, 3 gleiche zu bekommen. egal welche.

bei zwei würfeln ist die wahrscheinlichkeit für 2 gleiche bei 1/10tel. laut deiner formel nur 1/100tel. deine formel gibt mir entsprechend nur die wahrscheinlichkeit, zwei 3er zu werfen, nicht aber die wahrscheinlichkeit für zwei 1er, 2er, 3er und so weiter zusammen.

bei spätestens 11 würfeln mit je 10 seiten müsste die wahrscheinlichkeit für wenigstens 2 gleiche bei über hundert prozent sein, da ja keine 11 verschiedenen ergebnisse herauskommen können. wie wahrscheinlich sind jetzt aber bei 11 würfeln 4 gleiche, egal welcher art?

ich hoffe, das war ein klein wenig verständlicher.