Zeigen Sie: Für jedes p ∈ K[X] gilt p(A ⊕ B) = p(A) ⊕ p(B).

Question

Die direkte Summe A ⊕ B zweier Matrizen A ∈ K^n×n und B ∈ K^m×m ist definiert als \( \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} \) ∈ K^(n+m)×(n+m).

Das kleinste gemeinsame Vielfache lcm(p, q) zweier Polynome p, q ∈ K[X] \ {0} ist definiert als das normierte Polynom u ≠ 0 von kleinstmöglichem Grad, für das gilt p | u und q | u.

Zeigen Sie:
a) lcm(p, q) ist eindeutig bestimmt.
b) Für jedes p ∈ K[X] gilt p(A ⊕ B) = p(A) ⊕ p(B).
c) Sind m_A,m_B die Minimalpolynome von A und B, so ist lcm(m_A,m_B) das Minimalpolynom von A ⊕ B.

Comments

zu c)

Was ist mit A = B?

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Kann man einen unbedachten Kommentar löschen?

Answer 1

Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache zweier Polynome ist bis auf konstante Vielfache eindeutig bestimmt, weil die Zerlegung eines Polnoms ist Primpolynome soweit eindeutig ist.

Das Minimalpolynom ist das Produnkt von Termen der Form (x-z)^k, wo k die Größe des größten Jordankästchen zum Eigenwert z ist.

Die Jordankästchen von A⊕B sind die von A und B zusammengenommen.

Comments

Danke, das hilft mir sehr weiter! Ich kenne noch nicht die Jordan-Normalform, kann man c) auch irgendwie anders beweisen?

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Zu einer Matrix A, die nicht diagonalisierbar ist, gibt es reguläre komlexe Matrizen B, so dass BAB^-1 Dreiecksform hat, dort stehen auch die Eigenwerte auf der Diagonalen, aber das Minimalpolynom ist nicht ablesbar.

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Danke, das hilft mir sehr weiter! Ich kenne noch nicht die Jordan-Normalform, kann man c) auch irgendwie anders beweisen?

Welche Eigenschaften hat ein Minimalpolynom?

1. Wenn man die Matrix einsetzt kommt 0 raus.

2. Es ist das normierte Polynom kleinsten Grades mit dieser Eigenschaft.

Rechne also nach, dass das kgV 1. erfüllt.

Wenn p ein Polynom ist, das 1. erfüllt, dann muss p(A)=0=p(B) nach b) gelten. Folgere m_A | p und m_B | p insbesondere ist p ein gemeinsames Vielfaches von m_A und m_B. Rest sollte dann klar sein.

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Danke für die Hilfe!