Sei λ ein Eigenwert von A, aber nicht von B, zeigen sie:1 < ||(λEn-B)-1|| ||(A-B)||

Question

Aufgabe:

Seien A, B ∈ ℂ^nxn zwei Matrizen. Sei λ ein Eigenwert von A, aber nicht von B. ||.|| ist eine submultiplikative Matrixnorm.

Zeigen Sie:

1 ≤ ||(λE_n - B)^-1|| · ||A - B||.

Problem/Ansatz:

Ax = λx.
Dann gilt: λx - Bx = (A - B)x und x = (λE_n-B)^-1(A-B)x, da λ kein EW von B ist

Das heißt, dass (λE_n-B)^-1(A-B) den Eigenwert 1 hat und es gilt: ||(λE_n-B)^-1 · (A-B)|| ≥ 1

Durch die submultiplikativität gilt: 1 ≤ ||(λE_n-B)^-1 · (A-B)|| ≤ ||(λE_n-B)^-1|| · ||(A-B)||

Answer 1

Ja, das kannst Du so machen, gut.

Hattet Ihr einen Satz, der besagt "EW 1 \(\implies \|...\|\ge 1\)"? Wenn ja, kannst Du den zitieren.

Ich würde eher mit der Def. der Matrixnorm argumentieren (supremum über der Einheitskugel (das ist quasi der Beweis für "EW 1 \(\implies...\)").