Beweis Divergenzsätze (Schon mal gestellt, jedoch neue Version)

Question

Ich hatte diese Frage schon mal gestellt, jedoch hatte ich da damals keinen richtigen Ansatz gefunden. Ich habe jetzt hier eine neue Idee für diesen Beweis. Ist dieser Beweis richtig zu dem obigen Satz.

Text erkannt:

a) Sei \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty \& \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b>0 \), so ist \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=\infty \).

Beweis. Wähle ein beliebiges \( \epsilon>0 \) so, sodass \( b-\epsilon>0 \) ist. Da \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b \) ist, wähle man ein \( N_{\epsilon} \in \mathbb{N} \) so, sodass für \( \left.n \geqslant N_{\epsilon}: b_{n} \in\right] b-\epsilon, b+\epsilon[ \) ist. Sei weiterhin ein \( M>0 \) belie big. Da \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty \) ist, wähle man ein \( N_{\epsilon} \geqslant N_{\epsilon} \), sodacs für \( n \geqslant N_{\epsilon^{\prime}}: a_{n} b_{n}>M(b-\epsilon) \) gilt.
Damit ist \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=\infty \).

Answer 1

Von der Idee her ok, aber unschön und lückenhaft am Ende.

Der Beweis sollte beginnen mit "Sei \(M>0\)" und enden mit "dann gilt für alle \(n\ge N_0:\quad a_n\cdot b_n >M\). Passe die Zwischenschritte und Größen also entsprechend an.

Comments

Ist das so besser bzw. richtig?

Text erkannt:

Beweis. Sei \( M>0 \) beliebig. Man wähle ein \( \epsilon>0 \) so, sodars \( b-\frac{\epsilon}{2}>0 \) gill. Da \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b \) ist, wähle man ein \( N \in \mathbb{N} \), sodass für \( n \geqslant N \) dann \( \left.b_{n} \in\right] b-\frac{\epsilon}{2}, b+\frac{\epsilon}{2}[ \) ist.
Da \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty \) ist, gibt es ein \( N_{1} \in \mathbb{N} \) mit \( a_{n}>\frac{M}{b-\frac{\epsilon}{2}}>0 \) fuir \( n \geqslant N_{1} \).
Für \( n \geqslant N_{0}:=\max \left\{N_{1} N_{1}\right\} \) gilt dann \( a_{n} b_{n}>\frac{M}{b-\frac{\epsilon}{2}}\left(b-\frac{\epsilon}{2}\right)=M \).
\( \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=\infty \)

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Ja, genauso meinte ich. Es geht aber auch mit \(\varepsilon\) anstelle \(\frac{\varepsilon}2\).

Noch eine Kleinigkeit. Schreib lieber jedesmal "für alle \(n\ge...\)", das ist etwas klarer und beugt späteren Missverständnissen vor.

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Super, ich danke Dir!